8.125 Rozwiąż równania Wścibski: Rozwiąż równania: a) cos2x − 5six − 4 = 0 b) cos2x − 3cosx − 4cos²x = 4sin²x I jeszcze pytanie bezpośrednio ode mnie − czy jest jakiś sposób na to, by nauczyć się rozwiązywać tego typu przykłady? Bo ja patrzę, patrzę i niewiele mi to daje. Czasami próbuję coś pomnożyć, zauważyć jedynkę trygonometryczną czy coś, ale często mam tak, że ślęczę nad przykładami i nic nie wskóram.

henrys: cos2x=cos²x−sin²x=1−2sin^x=2cos^x−1 skorzystaj z tych wzorów

5-latek: Zaczac od rozwiazywania najprostszych przykladow typu sinα=sinβ cosα=cosβ itd.

henrys: tam miało być cos2x=cos²x−sin²x=1−2sin²x=2cos²x−1

Wścibski: Znam te wzory, ale jak jestem już w "zaawansowanej" fazie rozwiązania, to się blokuję. Na przykładzie: a) cos2x − 5six − 4 = 0 1 − 2sin²x − 5sinx − 4 = 0 − 2sin²x − 5sinx − 3 = 0 2sin²x + 5sinx + 3 = 0 Czy tutaj mogę spokojnie podstawić t=sinx; t∊<−1, 1>?

henrys: tak jak radzi 5−latek, proste przykłady, trzeba poznać parę wzorów (najlepiej je sobie wyprowadzić

henrys: pewnie

Janek191: cos 2 x = cos² x − sin² x = 1 − 2 sin² x więc mamy 1 − 2 sin² x −5 sin x − 4 = 0 −2 sin² x − 5 sin x − 3 = 0 2 sin² x + 5 sin x + 3 = 0 t = sin x − 1 ≤ t ≤ 1 2 t² + 5 t + 3 = 0 Δ = 25 − 4*2*3 = 1

	− 5 − 1
t =		= −1,5 < − 1 − odpada
	4

lub

	− 5 + 1
t =		= − 1
	4

czyli sin x = − 1

	π
x = −		+ 2π*k , gdzie k − dowolna liczba całkowita
	2

henrys: tutaj bez podstawiania ładnie wychodzi 2sin²x+2sinx+3sinx+3=0 2sinx(sinx+1)+3(sinx+1)=0 (sinx+1)(2sinx+3)=0 sinx=−1 lub sinx=−3/2<−1

Wścibski: Skoro tak, to spróbuję i b) samemu zrobić. Nie wiem czemu, ale strasznie boję się tutaj potęg. Nevermind. b) cos2x − 3cosx − 4cos²x = 4sin²x cos2x − 3cosx − 4cos²x = 2 − 2cos2x 4cos²x + 3cosx − cos2x + 2 = 0 4cos²x + 3cosx − 2cos²x + 1 + 2 = 0 2cos²x + 3cosx + 3 = 0 Potem wystarczy podstawić t=cosx; t∊<−1, 1> Dziwne, po napisaniu pytania tutaj zadania stały się nagle łatwe. Dziękuję za pomoc!

Wścibski: A tak z drugiej strony... Jak tutaj podstawię t, to wyjdzie: 2t² + 3t + 3 = 0 Δ = 9 − 4*2*3 < 0 Czyli wychodzi, że x∊∅?

henrys: jeśli nie zrobiłeś błędu w rachunkach to tak

henrys: masz błąd w trzecim wierszu

Wścibski: Oczywiście, że się walnąłem. I to już na samym początku. cos2x − 3cosx − 4cos²x = 4sin²x cos2x − 3cosx − 4cos²x = 4 − 4cos2x 5cos2x − 3cosx − 4cos²x − 4 = 0 5cos2x − 3cosx − 2cos2x − 2 − 4 = 0 3cos2x − 3cosx − 6 = 0 6cos²x − 3 − 3cosx − 6 = 0 6cos²x − 3cosx − 9 = 0 Teraz powinno wyjść.