Dowód indukcyjny kk: Udowodnij że liczba postaci 5ⁿ⁺¹+2*3ⁿ+1 jest podzielna przez 8. Zadanie z indukcji matematycznej.

Janek191: 1) n = 1 5² + 2*3¹ + 1 = 25 + 6 + 1 = 32 = 8*4 ok 2) Zakładam podzielność 5ⁿ⁺¹ + 2*3ⁿ + 1 przez 8, tzn. 5 ^{n +1} + 2*3ⁿ + 1 = 8 k ⇒ 5^{n +1} = 8 k − 2*3ⁿ − 1 Mam pokazać podzielność 5^{n +2} + 2*3^{n =1} + 1 przez 8 Dowód. 5^{n +2} + 2*3^{n +1} + 1 = 5*5^{n +1} + 2*3* 3ⁿ + 1 = 5*(8 k − 2*3ⁿ − 1) +2*3*3ⁿ + 1 = = 8* 5k − 10*3ⁿ − 5 + 6*3ⁿ + 1 = 8*5k − 4*3ⁿ − 4 = 8*5k − 4*( 3ⁿ +1) 3ⁿ − 1 jest liczbą parzystą, więc 8*5k − 4*( 3ⁿ + 1) dzieli się przez 8. Na mocy indukcji matematycznej liczba 5^{n+ 1} + 2*3ⁿ + 1 dzieli się przez 8 dla n ∊ ℕ₁

Janek191: Tam miało być 3ⁿ + 1 jest liczbą parzystą.

kk: Dziękuję pięknie!