Twierdzenie o 3 ciągach matfiz: Proszę o pomoc Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granice ciągów :

	sin(n+1)
a) an =
	n

	|√5n|
b) bn =
	n+1

	3n + 5n
d) dn = n√
	2n + 4n

	n		n		n
e) en = (		+		+ ... +		)
	n3+1		n3+2		n3+n2

f) f_n = ⁿ√4 + (−1)ⁿ

sushi_gg6397228: chcesz się nauczyć czy chcesz gotowca ?

matfiz: Nauczyć

Janek191: Do a) − 1 ≤ sin ( n +1) ≤ 1 / : n

Janek191: W b) jest √5 n czy √5 n ?

matfiz: |√5n|

Janek191: Co w b) oznaczają I I ? Przecież n to liczba naturalna.

Janek191: Jaka granica wyszła w a ) ?

matfiz: | | −−> wartość bezwzględna Piszę tak jak jest w zadaniu

Janek191: Wg mnie znak wartości bezwzględnej jest zbędny, bo √5 n > 0

matfiz: w a) wyszło mi 0

Janek191: Tak Czy b) jest dobrze przepisane ?

matfiz: Tak

Janek191: Do tego ciągu nie trzeba tw. o 3 ciągach

	√5 n		√5
bn =		=
	n + 1		1 + 1n

Janek191: d) Dobierz takie ciągi: a_n i b_n, by a_n ≤ d_n ≤ b_n ( patrz na liczniki ułamków )

Janek191: I mianowniki Ile wyszło w b) ?

matfiz: Przepraszam, jednak jest źle w b). Tam nie ma wartości bezwzględnej, tylko "podłoga i sufit "

matfiz: Dokładnie funkcja floor

matfiz:

	⌊√5n⌋
bn =
	n+1

Teraz jest prawidłowo

matfiz: Pomoże ktoś ?

sushi_gg6397228: https://pl.wikipedia.org/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit patrz własności

Janek191:

	5
d)		?
	4

matfiz: To wiem. Ja nie wiem jakie dawać liczby przy twierdzeniu o 3 ciągach

sushi_gg6397228: co wpiszesz dla [5,6] =....

sushi_gg6397228: √5 −1 <[ √5 ] < √5 +1 czy jest prawdą ?

Katrina: d)5/4

matfiz: Ok, to rozumiem A d) jak będzie wyglądać ?

Katrina: Ułamek będzie największy gdy jego mianownik będzie najmniejszy w tym wypadku to 4ⁿ, a licznik będzie największy 5ⁿ+5ⁿ. Teraz odwrotna sytuacja ułamek najmniejszy gdy mianownik = 4ⁿ+4ⁿ, a licznik = 5ⁿ

matfiz: A w b) będzie tak ? lim √5n−1 = ∞

sushi_gg6397228:

	a1xn+ a2xn−1+...+ an
a jest taka teoria		i granica=
	b1xm+ b2xm−1+...+ bm

	a1
1)		gdy n=m
	b1

2) ∞ gdy n>m 3) 0 gdy n<m

matfiz: uuuu,,, dziękuje

Janek191:

5n		3n + 5n		2*5n
	≤		≤
2*4n		2n + 4n		4n

więc

	5n		2*5n
n√		≤ dn ≤ pn{
	2*4n		4n

5		1		5
	*		≤ dn ≤		*n√2
4		n√2		4

ⁿ√2 → 1 , gdy n → ∞

matfiz: Dziękuje za pomoc

Janek191: f)

	n*n2		n3		1
an =		=		=
	n3 + n2		n3 + n2		1 + 1n

	n*n2		n3		1
bn =		=		=
	n3 + 1		n3 + 1		1 + 1n3

a_n ≤ f_n ≤ b_n

Janek191: To było e)

Janek191: f) ⁿ√ 4 − 1 ≤ f_n ≤ ⁿ√4 + 1 ⁿ√3 ≤ f_n ≤ ⁿ√5 ⁿ√3 → 1, gdy n → ∞ ⁿ√5 → 1, gdy n → ∞

matfiz: Dziękuje bardzo.

matfiz: Jedno pytanko czy w b ma wyjść ∞ ?