aa Hugo: różniczka; Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania x' = x² −9

dx
	= x2 −9
dt

dx = (x² −9)dt

dx
	= dt / ∫
x2−9

1		x−3
	ln |		| = t + C / *6 / e(...)
6		x+3

x−3
	= e6t * C / przekształcenie ułamka
x+3

	6
1 −		= e6t * C
	x+3

	6
−		= e6t * C − 1
	x+3

−6 = (e^6t * C − 1)*( x+3)

	−6
x+3 =
	e6t * C − 1

	−6
x =		− 3
	e6t * C − 1

dobrze? Troche takie dziwne wyszło

Hugo:

	x−1
2. x' =
	t+1

	x−1
dx/dt =		/ ∫
	t+1

ln|x+1| = ln|t+1| + C /e⁽⁾ x−1 = (t+1) *C x−1 = Ct+C+1

:): na poziomie 3 liniki jest ok potem ln|x+1|=ln|t+1|+ln|A|, dla pewnej stałej A |x+1|=|t+1|*A x+1=A(t+1) x=At+(A−1), A∊R

:): tzn powinno być |x−1|=|t+1|*A..... x=At+(A+1)

:): czyli w twoich oznaczenaich... x−1=Ct+C, PO CO TA JEDYNKA PO C ! i jest GIT

Hugo: 3. (e^t + e^−t) · x' = x² (e^t + e^−t) dx/dt = x² dx/x² = dt/(e^t + e^−t) /∫ − √x = .... https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB1%2F%28e%5Et+%2B+e%5E%28-t%29%29dt ja bym prze cześci: u = e^2t +1 u'= e^2t * 2 v' = e^t v = e^t e^2t* e^t − ∫e^t * e^2t dt e^3t+e^t − ∫e^3tdt e^3t+e^t −1/3e^3t 2/3e^t +e^t 2/3e^t +e^t = −√x logarytmować? prosze o pomoc

Hugo: @: ) Dziękuję ! no głupi błąd ... a co z 2 i 3? głównie to 3 i tak kosmiczna całka

:):

	1		et
∫		dt=∫		dt, podstawienie et=s etdt=ds
	et+e−t		e2t+1

:):

	ds
=∫		... na to ejst gotowy wzór
	s2+1

Hugo: no tak ! arctg .. juz licze..

Hugo: arctg(s) = arctg(e^t)

Hugo: arctg(e^t) = −x⁻¹ [−arctg(e^t) ]² = x = arctg²(e^t) ?

kyrtap: Hugo ty śmieszku

Hugo: +C * ... na wolframie się zgadza, lecę więc z następnym zadaniem. x*x' = 4t * √x²+1 x(0) = 1

	dx
x*		= 4t * √x2+1
	dt

xdx
	= 4tdt / ∫
√x2+1

2t² + C = ...

	x
∫		dx
	√x2+1

t = √x²+1 t² = x² + 1 dt * 2t = 2x * dx / :2 tdt = xdx / podstawiam.

	tdt
∫		= ∫dt = t = √x2+1 ?
	t

2t² + C = √x²+1 /² x² + 1 = 4t⁴ + C x² = 4t⁴ + C −1 x = √4t⁴ + C −1 ?

Hugo: troche błędnie myląco tworzylem zmienną t = .... ; powinienem tamto zmianną s dawać x(0) = 1 1 = √4*0 + C −1 1 = √C−1 C = 2 bo: √2−1 = √1 = 1

Hugo:

	x2−1
x' =		x(2) = 2
	t2−1

	x2−1
dx/dt =
	t2−1

dx		dt
	=
x2−1		t2−1

x−1		t−1
	=		* C
x+1		t+1

	−2(t+1)
x =		−1
	(t−1)C

dobrze ? coś prosta...

sushi_gg6397228: do bani

1		A		B
	=		+		−−> rozkład na ułamki proste i potem są odpowiednie ln
x2−1		x−1		x+1

J:

	dx
Nie szalej ... ∫		dx = ...?
	x2−1

:): sushi... Mam do ciebie pytanie. Zastanawia mnie ile masz lat i co robisz

J: o jedno dx za dużo

ICSP: dobrze policzył

J: fakt.. chyba pójdę spać

Hugo: http://scr.hu/2pdc/p2o45 na etrapezie jest taka całka, wzór

ICSP: ale skąd się wziął to juz nie masz pojęcia ?

:):

1		1		12a		−12a
	=		=		+
x2−a2		(x−a)(x+a)		x−a		x+a

	1		1		1
=		(		−		)
	2a		x−a		x+a

	1		1		1		1
∫		dx=∫		(		−		)dx
	x2−a2		2a		x−a		x+a

	1		1		1
=		(∫		dx−∫		dx)
	2a		x−a		x+a

	1
=		(ln|x−a|−ln|x+a|)
	2a

	1		|x−a|
=		ln(		)
	2a		|x+a|

	1		x−a
=		ln|		|
	2a		x+a

i kONIEC

ICSP: albo podstawienie x = a*coth(t)

:): Jak kto woli

Hugo: Dziękuję za pomoc wszystkim

Hugo: 2/3 części zadań: x' = sin(t+x)i nie wiem jak wyciągnąć 1 zmienna z sin() dx/dt= sin(t+x) , jak sb z tym poradzic?

Hugo: sin(a+b)= sinacosb + sinbcosa z tego?

:): z=t+x

dz		dx
	=1+		=1+sin(z)
dt		dt

więc

dz
	=1+sin(z)..... potem wrócisz do zmienneej x=z−t
dt

Hugo: ktos ma pomysl?

Hugo: oooo

:): no przeciez ci napisałem co zrobic...

jakubs: Hugo ja uczyłem się równań różniczkowych z takiego różowego podręcznika Skoczylasa "Równania różniczkowe zwyczajne". Tam też są przykłady i w sumie wszystko dość jasno opisane. Przejdź się do biblioteki i przeglądnij.

:):

	π		z
1+sin(z)=2sin2(		+		)
	4		2

więc

dz
	=t+C
1+sinz

dz
	t+C
π   z   2sin2( + )   4   2

	π		z		1
podstawienie		+		=s		dz=ds
	4		2		2

ds
	=t+C
sin2s

−ctg(s)=t+C

	π		z
−ctg(		+		)=t+C
	4		2

	π		t+x
−ctg(		+		)=t+C
	4		2

Mogłem sie gdzieś pomylić..ale idea jest taka

Hugo: jak wysylam to mi sie odświeżyło nie widziałem posta czytam twój wpis ; dz/dt = 1 + sin (z) ? jak dz/ dt = 1 + dx/ dt nie rozumiem skąd to sie bierze

:):

dx
	=sin(x+t)
dt

z=x+t z=z(t) / z jest funkcją od t, podobnie jak x=x(t) różniczkuje obustronnie po t z'=x'+t'=x'+1 wiec z'=x'+1 ale x'=sin(z)

Hugo: z = x+t

dz		dx+dt		dx
	=		=(x+t)' = 1 +		nigdy tak jeszcze nie robiłem w
dt		dt		dt

pochodnych, coś się nowego nauczylem !

:): robiłeś...no nic tu sie takiego nie dzieje... jak np f(t)=t² i teraz g(t):=f(t)+x to g(t)=t²+t więc g'(t)=2t+1=f'(t)+1...nic takiego

Hugo: @jakubs znam autora Skoczylasa, Hugo lubi Etrapez kursy wideo. Zadania są rozwiązywane krok po kroku. http://scr.hu/2pdc/fc7mv podstawianie uniwersalne !

Hugo:

	t+3x
kolejna x' =
	3t+x

	1   t+ x 3		1   t+ x + 3t −3t 3
dx/dt = 3*		= 3*
	3t+x		3t+x

	8/3t
= 3*
	3t+x

dx(3t+x) = 8t dt // i tu mam problem z lewą stroną jak rozbić znów dx * 3t + xdx = 8dt // 3 całki? 3tx + x² = 8t // f. kwadratowa.. liczyć to dalej? x₀.. x₁?

Hugo: ∫−8tdt = −4x²* 3tx + x²= −4t² *

Hugo: x² + 6tx = −8t² *** mialbys pomysł ?

Hugo: 9) ta jest trudna t*x' = x + 4t * e^−2x/t

dx
	*t = x + 4t * e−2x/t // dzielimy przez t
dt

dx		x
	=		+ 4 * e−2x/t
dt		t

	x
z =
	t

dx
	= z+ 4 * e−2z
dt

twój sposobem:

dz		1		dx
	=		*
dx		−t2		dt

dx		dz		1
	=		−
dt		dx		−t2

	dz		1
		* ( −		) = z+ 4 * e−2z
	dt		−t2

	dz
∫		= ∫−t2dt
	z+4e−2z

i tu chyba można:

	dz* 4e2z
∫		= ∫−t2dt //prawa całka prosta w ta lewa?
	z

teta: coś mi się nie podoba przejście z przedostatniej linijki do ostatniej

Hugo: racja ! to nie jest mnożenie, ale i tak nie mam pojęcia jak to zrobic

teta: hmm wydaję mi się że gdzieś jest błąd w trakcie też, ktoś to musi potwierdzić a wnioskuję to, bo ta całka faktycznie byłaby trudna

teta:

	x
zastanowiłbym się czy przy podstawieniu z=		podstawiane pochodne będą takie kolorowe
	t