Komibinatoryka Jolka: Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie jedna cyfra występuje dokładnie dwa razy? Proszę o pomoc, bo mi nic nie wychodzi

:): =liczba liczb trzycyfrowych−liczba liczb trzycyfrowych, w których jedna liczba występuje tylko 1 raz−liczba trójek (chodzi mi o liczby 111,222,...,999)

Mila: I sposób: 9*10*10−(9*9*8+9)=900−(648+8)=343 II sposób: 1)XXY cyfry setek i dziesiątek jednakowe, cyfra jedności Y≠X 9*1*9=81 2) XYX 9*9*1=81 3) YXX 9*9*1=81 ========== 3*81=343

PW : Zgodnie z tradycją dodam komentarz "słowami". Liczymy najpierw ile jest liczb trzycyfrowych: − pierwszą jest 100, ostatnią 999, a więc jest ich 999−100+1 = 900. Można to było także policzyć jak Mila: − cyfra setek może być jedną z 9 (bo nie można brać zera), cyfra dziesiątek może być dowolna z 10, cyfra jedności też dowolna z 10, a więc wszystkich jest 9·10·10. Wśród liczb trzycyfrowych są takie, których każda cyfra jest inna − takich nie chcemy, będziemy więc odejmować 9·9·8 (znowu dlatego, że pierwszą cyfrę można wziąć na 9 sposobów, druga musi być od pierwszej inna, a więc na 9 sposobów (bo może być zero, którego na pierwszym miejscu być nie mogło), trzecia musi być inna od tych dwóch początkowych, a więc można ją wybrać na 8 sposobów. Wśród liczb trzycyfrowych są też takie, które mają wszystkie cyfry jednakowe, a więc odejmiemy również 9 − to są liczby wypisane przez ; ). Stąd pojawiło się magiczne 900 − 9·9·8 − 9 = 900 − 648 − 9 = 243. Drugi sposób Mili też dobry, ale już nie liczyła , tylko napisała ten sam wynik (chociaż dla oddania prawdy należy potwierdzić, że 3·81 = 243).

Mila: No w pierwszym mam literówkę. Pozdrawiam Myślałam, że autorka to zauważy i o coś zapyta.

PW : Też mam nieraz wrażenie, że niepotrzebnie się wysilamy. Jolkaaaa ..., napisz chociaż "czytałam".