Wyznacz k KLAUDIA : Ustal dla jakich wartości parametru k miejsca zerowe funkcji f (x)=(k−2)x²+2kx+3 należą do przedzialu (−2;1)

sushi_gg6397228: jakiś własny wkład w to zadanie

KLAUDIA : Nie mam żadnego pomysłu tylko z a albo wiesze od zera albo mniejsze i ze k różne od dwóch

sushi_gg6397228: a≠0 Δ≥0 −2<x₁ <1 −2<x₂ <1

KLAUDIA : Ta delta jakaś dziwna wychodzi

sushi_gg6397228: zapisz swoje obliczenia

PW : Klaudio, z tym k ≠2 popełniasz typowy błąd. A co będzie dla k=2? Od tego trzeba zacząć: będzie równanie 2·2x + 3 = 0, którego rozwiązanie

	−3
x0 =
	4

spełnia podany warunek. Liczba mnoga "miejsca zerowe" zwiodła Cię, nie muszą być dwa. Mogą być dwa, może być jedno − inaczej o to po polsku trudno spytać.

patkiii: PW ma rację, trzeba nie tylko uwzględnić przypadek kwadratowy, ale również liniowy. a więc przypadek kwadratowy: I. k≠2 II. Δ≥0 Δ=4k²−12k+24 4k²−12k+24≥0/4 k²−3+6≥0 ⇒ k∊R III. Ponieważ wykresem funkcji f jest parabola, to podany warunek jest równoważny temu, że wierzchołek paraboli jest zawarty w podanym przedziale oraz wartości funkcji na końcach przedziału są dodatnie dla k>2i ujemne dla k<2 wyznaczam wierzchołek : x=−k/k−2 −k/k−2>−2 i −k/k−2<1 k∊(−∞,2)u(4,+∞) i k∊(−∞,1)u(2,+∞) ⇒k∊(−∞,1)u(4,+∞) czyli niestety k może być zarówno >2 jaki i <2 Dla k>2 f(−2)>0 i f(1)>0 tu mamy sprzeczność, a więc bierzemy się za k<2 f(−2)<0 i f(1)<0 ⇒k<−1/3 podsumowując wszystkie warunki przypadku kwadratowego: k<2 i k<−1/3 i k≠2 ⇒k∊(−∞,−1/3) Dodając warunek liniowy to odp to k∊(−∞,−1/3) u {2}

KLAUDIA : Niestety nadal nic z tego nie rozumiem, ale dzięki za chęci

PW : Nie dziwię się, bo pewnie patkiii rozwiązała na kartce, a tu przepisała coś niejasno (zamiast o iksach pisała o k, co uczyniło myśl nieczytelną). Obliczam te wartości funkcji f na krańcach przedziału <−2, 1>, czyli dla x = −2 i dla x = 1: f(−2) = (k−2)(−2)² + 2k(−2) + 3 = (k−2)·4 − 4k + 3 = −5 (niezależnie od k) f(1) = (k−2)·1² + 2k·1 + 3 = 3k + 1 Widać więc, że przypadek k > 2 i f(−2) > 0 jest niemożliwy. Pozostaje k < 2 i f(1) < 0, czyli 3k + 1 < 0, k < 2, to znaczy

	1
k < −		.
	3

Warunek na odciętą wierzchołka

	−k
xw =
	k−2

	−k
−2 <		< 1
	k−2

dla k < 2 ma postać (mnożymy przez ujemne k−2): −2(k−2) > − k > k − 2 −2k + 4 > − k > k − 2 Pierwsza nierówność daje 3k < 4 − oczywiste, druga 2k < 2 − też oczywiste. Mówiąc wprost: parabola ma pierwszą współrzędną wierzchołka "w dobrym miejscu" − w przedziale (−2, 1) dla wszystkich k < 2. Podsumowanie: warunki zadania są spełnione dla k spełniających nierówność

	1
k < −
	3

lub dla k = 2.

	1
Odpowiedź k ∊(−∞, −		)∪{2}.
	3