Udowodnij jagusia: Udowodnij, że

	1		1		1		2
∀n∊ℕ		+		+...+		>
	n		n+1		2n		3

sushi_gg6397228: indukcje znasz ?

jagusia: tak, ale ciągle dochodzę do sprzeczności w ten sposób..

sushi_gg6397228: zapisz swoje obliczenia

jagusia: sprawdziłam dla n=1, jest ok 2 krok: za n wstawiam k

1		1		1		2
	+		+ ... +		>
k		k + 1		2k		3

3 krok: za n wstawiam k+1

1		1		1		2
	+		+ ... +		>
k+1		k + 2		2(k+1)		3

	1
teraz obustronnie dodałam		, żeby móc skorzystać z założenia indukcyjnego
	k

1		1		1		1		2
	+		+		+ ... +		>		+
k		k+1		k + 2		2(k+1)		3

	1
	k

1		1		1		1		1
	+		+		+ ... +		+		+
k		k+1		k + 2		2k		2k+1

1		2		1
	>		+
2k+2		3		k

	1		1		1		1
teraz wiem, że suma		+		+		+ ... +		>
	k		k+1		k + 2		2k

2
3

więc

1		1		1
	+		powinna być większa od		?
2k+1		2k+2		k

sushi_gg6397228: 3 krok do bani

jagusia: i tyle z pomocy?

PW :

	1		1
Lepiej po lewej dodać		(bo potrzebny) i odjąć		(bo nie można oszukiwać).
	k		k

jagusia:

	1
Czyli nie powinnam przenosić tego		na prawą stronę?
	k

sushi_gg6397228: szacowanie pierwsze jest za grube policz po kolei dla k=1;2;3;4;5 ile wyniosą kolejne sumy

PW :

	1
Nie, po to dodajemy		, żeby po lewej skorzystać z założenia indukcyjnego dla początkowych
	k

wyrazów. Dostajemy coś większego od

	2		1		1		1
		+		+		−
	3		2k+1		2k+2		k

	2
− i z tym walczyć, żeby pokazać, że jest większe od		, jak mówi teza.
	3

jagusia: i w tym miejscu właśnie wychodzi mi sprzeczność

PW : No właśnie, sushi ma rację, to się nie uda. Znam to zadanie, ale z liczbą

	13
	24

po prawej stronie i pierwszym wyrazem po lewej równym

	1
		.
	n+1

jagusia: W każdym razie, dziękuję bardzo za chęć pomocy, jeszcze trochę pewnie nad nim posiedzę..

b.: W takiej sytuacji trzeba sobie coś wyczarować po prawej stronie. Np. wydaje mi się, że dałoby się udowodnić krok indukcyjny dla

	2		1
		+
	3		n+1

po prawej stronie. Nie dla n>=1, ale chyba dla n>=7 albo 8. Pozostaje wtedy sprawdzenie ręczne brakujących przypadków.

PW : Tezę trzeba poprawić i będzie do udowodnienia.

	1		1		13
Jeżeli po lewej będzie sumowanie od		do		, a po prawej		to teza będzie
	n+1		2n		24

prawdziwa:

	13		1		1		1
lewa strona będzie większa od		+		+		−		=
	24		2k+1		2k+2		k+1

13		(4k+3)(k+1)		4k2 +6k +2
	+		−		=
24		(2k+2)(2k+1)(k+1)		(2k+2)(2k+1)(k+1)

	13		4k2 + 7k + 3		4k2 +6k +2
=		+		−		=
	24		(2k+2)(2k+1)(k+1)		(2k+2)(2k+1)(k+1)

	13		k + 1		13
=		+		>		.
	24		(2k+2)(2k+1)(k+1)		24

	13
Takie twierdzenie znam. Liczba		jest mniejsza od 0,542, i to oszacowanie nie da się
	24

poprawić − ułamek

	1
	(2k+2)(2k+1)

występujący na końcu jest mały (maleje wraz ze wzrostem k), np, dla k = 10 jest równy zaledwie

	1
		≈ 0,022
	462

b.: Lewa strona dąży do ln 2 = 0,693..., więc przynajmniej dla dużych n oryginalna nierówność Jagusi też zachodzi

PW : Pytanie zatem do jagusi: − Rzeczywiście miała to być indukcja (koniecznie), czy może być szacowanie całki polami prostokątów?

jagusia: dostałam to na zadanie domowe na 2 ćwiczeniach na studiach matematycznych... znamy jedynie indukcję ale chętnie zrozumiem jakiekolwiek rozwiązanie

b.: spróbuj więc tak jak pisałem o 23:03

jagusia: czyli jeśli chcę wzmocnić tezę to mogę sobie po prostu założyć, że lewa strona będzie nadal większa, nawet jeśli po prawej coś dodam, tak? I wtedy dalej sprawdzić po prostu, czy to

	1
pasuje? bo jak dodałam to		to za pomocą indukcji wyszło mi, że jest prawdziwe
	n+1

dla wszystkich n mniejszych od − 16 i większych od −5 czyli dla wszystkich naturalnych po prostu

PW : Nie przeliczyłem tego, ale mam jakiś pomysł. Mając tezę dla n = k+1 dodać po lewej stronie dwa wyrazy ( i oczywiście odjąć):

	1		1
		i		,
	k−1		k

po czym skorzystać z założenia indukcyjnego dla n = k−1. Trzeba będzie walczyć z paskudną sumą czterech końcowych ułamków, od której będziemy odejmować dwa dopisane. Jeżeli to nie poskutkuje, to powiesz "przynajmniej próbowałam" i przygotujesz na zajęcia łatwiejszą tezę z 8 października z 23:17.

b.: @PW: bezpośrednio oryginalnej nierówności się indukcyjnie nie udowodni, bo ciąg po lewej stronie nierówności jest malejący. Skorzystanie z zał. ind. dla n=k−1 nic tu nie pomoże. @jagusia: No tak, dowodzimy indukcyjnie czegoś trochę mocniejszego. Czasami tak się da. Modyfikując Twój rachunek z 8 X, 20:51, dostajemy do udowodnienia nierówność:

	1		1		1		1		1
		+		>		+		−
	2k+1		2k		k		k+2		k+1

i ona zdaje się zachodzi dla k>1 (gdyby zastąpić ostra nierówność słabą, co też można zrobić, bo teraz mamy dodatkowy składnik po prawej oprócz 2/3, to wtedy jest OK dla k>=1) Tzn. z tym −16 i −5 coś mi się nie zgadza. Pamiętaj jeszcze o pierwszym kroku.