równanie z modułem i parametrem m Kamil: Proszę o pomoc w zadaniu Zbadaj liczbę rozwiązań równania ||x−1|−m|=2 Zaczynam tak : Opuszczam zewnętrzny moduł |x−1|−m=2 oraz |x−1|−m=−2 |x−1|=2+m oraz |x−1|=−2+m Zakładam 2+m≥0 oraz −2+m≥0 m≥−2 m≥2 Co teraz ? Narysować wykres funkcji |x−1| ? jak odczytać rozwiązania z wykresu Jak to rozwiązać używając dodatkowo metody algebraicznej? Dziękuje za pomoc

Milenabrmk: |x−1|=2+m oraz |x−1|=−2+m x+1=2+m oraz x−1=−2−m oraz x−1=−2+m oraz x−1=2−m rozwiązuj dalej..

Kamil: Czyli x=1+m oraz x=−1−m oraz x=−1+m oraz x=3−m. Czy teraz za parametr m mam podstawiać liczby z zakresu (−∞;2) ; 2 oraz (2:+∞) aby narysować cztery wykresy?

Kamil: Proszę o pomoc

J: nie tak.... Ix −1I = 2 + m ⇔ x − 1 = 2 + m lub x − 1 = − 2 − m i 2+ m ≥ 0 Ix − 1I = −2 + m ⇔ x − 1 = −2 + m lub x − 1 = 2 − m i −2 + m ≥0

Kamil: Czyli tak jak napisała Milenabrmk, ale co dalej...?

J: rozwiązuj równania uwzględniając założenia ( ostatnie po prawej )

ZKS: Cztery rozwiązania mamy kiedy m + 2 > 0 ∧ m − 2 > 0 ⇒ m ∊ (2 ; ∞), trzy rozwiązania mamy kiedy m + 2 > 0 ∧ m − 2 = 0 ⇒ m = 2 dwa rozwiązania mamy kiedy m − 2 < 0 ∧ m + 2 > 0 ⇒ m ∊ (−2 ; 2) jedno rozwiązanie mamy kiedy m + 2 = 0 ∧ m − 2 < 0 ⇒ m = −2.

Kamil: Czyli dla przypadku 2+m≥0 podstawiam za m ⇒(−2) i np 0 ? Obliczam w ten sposób x i punkty nanoszę na układ współrzędnych otrzymując cztery proste ?

Kamil: Dzięki Milenabrmk, J i ZKS za pomoc !

Tomek: Analizuję to zadanie i nie do końca rozumiem rozwiązania przedstawione przez ZKS Nie wiem skąd wniosek , ze np cztery rozwiązania gdy m+2>0 lub m−2>0⇒m∊(2;∞) itd... Być może pytanie jest trywialne , ale proszę o pomoc.

ZKS: Mamy dwa równania |x − 1| = m − 2 ∨ |x − 1| = m + 2, a równanie typu |x − a| = b ma dwa rozwiązania dla b > 0, ponieważ dla b = 0 otrzymamy jedno rozwiązanie to chyba jasne? Teraz, aby otrzymać cztery rozwiązanie muszą zachodzi warunki m − 2 > 0 ∧ m + 2 > 0, dwa rozwiązania z pierwszego równania |x − 1| = m − 2 i dwa rozwiązania z drugiego równania |x − 1| = m + 2 w sumie cztery.

PW: Kamilu, zasadniczym błędem popełnianym przez Ciebie jest używanie spójnika "oraz". Matematyka nie używa takiego spójnika i nie bardzo wiadomo jak to traktować. Literackie "oraz" jest znaczeniowo bliskie matematycznemu "i", a w tym wypadku powinieneś użyć spójnika "lub". (*) |u| = 2 ⇔ (u = −2 ∨ u = 2). Słusznie założyłeś, że w pierwszym wypadku powinno być m+2 ≥ 0, a w drugim m−2 ≥ 0, ale nie napisałeś dlaczego przyjmujesz takie ograniczenia dla m i nie zastosowałeś jeszcze raz tego samego myślenia jak w (*), tym razem dla u = x−1 i prawej strony równej m+2 lub równej m −2. Nic nie trzeba rysować.

Tomek: aaaaa....