Nierówność z wartością bezwzględną Mefju: Witam, mam problem z pewnym zadaniem ponieważ nie wiem czy dobrze je rozwiązałem. Mamy taką o to nierówność: |x−2| − |x| < 4 Wymieniłem sobie 3 przedziały gdzie: 1. x∊(−∞;0) 2.x∊<0;2) 3.x∊<2;∞) Według moich wyników wychodzi, że: 1. 2<4 2. x>−1 3.−2<4. Czy jest to dobrze i czy moglibyście pokazać najlepsze sposoby na rozwiązanie takich nierówności? Zarówno tam gdzie są dwa bezwzględne obok siebie oraz gdzie jeden jest w drugim.

5-latek: Jeśli masz dwie lub więcej wartości bezwzględnych to przedzialy

5-latek: Pokaz najlepiej obliczenia

Janek191: Poczytaj sobie po lewej stronie : wartość bezwzględna

Mefju: no przy tych przedziałach co wymieniłiem to mam takie obliczenia 1. −x+2+x < 4 skróciłem "iksy" to wynik jak powyżej 2. −x+2−x < 4 potem −2x < 2 już po przeniesieniu i dodaniu, podzieliłem, wynik wyżej 3. x−2−x < 4 no to wynik jak w pierwszym poście, w sumie nie dużo obliczeń.

PW: W tym wypadku |x − 2| < |x| + 4 − obie strony nieujemne, nierówność jest więc równoważna następującej: x ² − 4x + 4 < x² + 8|x| + 16 − x + 1 < 2|x| + 4 − x < 2|x| + 3 − dla dodatnich x i zera prawdziwa w sposób oczywisty, dla ujemnych x ma postać − x < −2x + 3 , x∊(−∞, 0) x < 3, x∊(−∞, 0), rozwiązaniami tej nierówności też są wszystkie x z dziedziny.

Mila: Możesz też tak: Metoda graficzna: |x−2| − |x| < 4⇔ |x−2|<|x|+4 f(x)=|x−2| g(x)=|x|+4 Wykres f(x) leży poniżej wykresu funkcji g(x) dla każdego x∊R Metoda algebraiczna 1)|x−2|=x−2 dla x≥2 2)|x|=x dla x≥0 ♦x∊(−∞,0) wtedy mamy nierówność: −x+2−(−x)<4⇔−x+2+x<4⇔2<4 Prawda⇔spełniona nierówność dla każdego x∊(−∞,0) ♦x∊<0,2) wtedy mamy nierówność: −x+2−x<4 −2x<2 x>−1 ⇔spełniona nierówność dla x∊<0,2) ♦x∊<2,∞) wtedy mamy nierówność: x−2−x<4 −2<4 prawda, spełniona nierówność dla każdego x∊<2,∞)⇔ |x−2| − |x| < 4 dla każdego x∊R

Mefju: Dzięki PW jednak w odpowiedziach mam podane, że x∊R chyba,że czegoś nie zrozumiałem z twojej odpowiedzi.

5-latek: No to teraz należy wyznaczyć rozwiązanie Patrz uważnie na przedzialy

5-latek: Już masz

Mefju: Dzięki Mila! Czyli w sumie nie miałem źle tylko kwestia zapisania na końcu obliczeń, że nierówność jest prawdziwa dla tych rozwiązań. Dzięki raz jeszcze!

PW: N ie zrozumiałeś. Specjalnie napisałem w ostatnim zdaniu rozwiązaniami tej nierówności też są wszystkie x z dziedziny.

Mefju: A mógłbym jeszcze cię prosić o obliczenie tego zadania: |x+5|−|x−2| ≤ 3 Za cholere nie chce mi wyjść poprawny wynik. Będę wdzięczny.

Mila: Mefju, właśnie o to chodzi, że nie napisałeś odpowiedzi. Nierówność jest spełniona dla każdego x∊R, albo tak jak podał PW, jeśli zostawisz tylko tak, jak napisałeś pierwszym wpisie, to obetną Ci punkty na maturze i klasówce też.

Mila: |x+5|−|x−2| ≤ 3 |x+5|=x+5 dla x≥−5 |x−2|=x−2 dla x≥2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1) x<−5 wtedy mamy nierówność: −x−5−(−x+2)≤3 −x−5+x−2≤3 −7≤3 prawda, nierówność spełniona dla każdego x∊(−∞,−5) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− lub 2) x∊<−5,2) x+5−(−x+2)≤3 x+5+x−2≤3 2x≤0⇔x∊<−5,0> lub 3) x∊<2,∞) x+5−(x−2)≤3 x+5−x+2≤3 7≤3 fałsz , brak rozwiązania w tym przedziale ==================== odp. x∊(−∞,0>