Dylemat całki Paweł: Witam, jak to jest z postawieniem w calkach. Trochę się pogubiłem, dawno nie e liczyłem. Czy

	dx
przy calce ∫		mogę podstawić x=sint, bo wtedy bym rozpatrywać dla lxl<1 a
	x(x2−1)

dziedzina to R bez −1,0,1? Czy na to się nie patrzy?

Mila: Ułamki proste.

1		A		B		C
	=		+		+
x*(x−1)*(x+1)		x		x−1		x+1

Paweł: Wiem, że tak można to zrobić. Chodzi mi tylko czy mogę użyć takiego postawienia?

aaa: Przy rozwiązywaniu takich całek (wielomianowych) postępujemy następująco: 1) sprawdzamy czy licznik < mianownik czy odwrotnie 2) u nas L < M czyli: a) sprawdzamy czy można rozłożyć mianownik na czynniki: − u nas można: x(x − 1)(x + 1) Mamy zatem:

	dx
∫
	x(x − 1)(x + 1)

Teraz rozkładamy na ułamki proste:

A		B		C		1
	+		+		=
x		x − 1		x + 1		x(x − 1)(x + 1)

A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) = 1 Ax² − A + Bx² + Bx + Cx² − C = 1 (A + B + C)x² + Bx − A − C = 1 Wielomiany są równe jeśli mają te same współczynniki. Wystarczy porównać współczynniki i całkę przekształcić do postaci:

	dx		dx		dx
A∫		+ B∫		+ C∫
	x		x + 1		x − 1

To już jest chyba proste do policzenia co nie?

Mila: Nie możesz, bo ograniczasz dziedzinę.

Paweł: Ok, super. Dziękuję bardzo.

Bogdan: Od tego miejsca: A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) = 1 można tak:

	1
dla x = 1: 2B = 1 ⇒ B =
	2

	1
dla x = −1: 2C = 1 ⇒ C =
	2

dla x = 0: −A = 1 ⇒ A = −1