Oblicz Maturzystka:

	xy
Wykaż ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x,y,z jest spelniona nierówność		+
	z

	yz		xz
		+		≥ x+y+z
	x		y

PW: Niech y = px, z = qx, gdzie p, q > 0 wtedy badana nierówność przyjmuje postać

	xpx		pxqx		xqx
				+		≥ x(1 +p +q)
	qx		x		px

	p		q
		x+ pqx +		x ≥ x(1 +p +q)
	q		p

	p		q
		+ pq +		≥ 1 +p +q
	q		p

Dzielenie przez x jest dopuszczalne, gdyż z założenia x > 0. Zamienił stryjek siekierke na kijek? Nie, teraz są już tylko dwie liczby dodatnie p i q, a nierówność zdaje się łatwa do udowodnienia.

wmboczek: x=1 y=1 z=1 i nijak nie pasuje

wmboczek: a sorki nie zauważyłem przeniesienia z poprzedniej linii

wmboczek: obustronnie razy 2xyz pogrupować do wzorów skróconego mnożenia postaci (xy−xz)²+(xy−yz)²+(xz−yz)²≥0

Maturzystka: Sprowadzamy do wspolnego mianownika i co dalej?

PW: Dodatkowa wskazówka, która ułatwi rozwiązanie. Gdyby założyć, że x jest największą z trzech liczb, to p i q byłyby liczbami mniejszymi od 1 lub równymi 1. Takie założenie nie psuje ogólności rozważań − największa liczba i tak ginie po podzieleniu przez nią stronami, a pozostałe liczby po obu stronach są identyczne (zmieni się tylko ich kolejność).

PW: Więcej nie piszę, bo teraz wmboczek wprowadził nowy pomysł, i się zrobi mieszanka.

Maturzystka: PW twój pomysł jest dla mnie bardziej czytelny, więc gdybyś mógł podpowiedz coś jeszcze

ZKS: Ładnie też idzie z nierówności między średnimi.

xy   yz   + z   x		xy		yz
	≥ (		*		)1/2 = y
2		z		x

xy   xz   + z   y		xy		xz
	≥ (		*		)1/2 = x
2		z		y

yz   xz   + x   y		yz		xz
	≥ (		*		)1/2 = z
2		x		y

xy		yz		xz
	+		+		≥ x + y + z
z		x		y

PW: Prawdziwość nierówności

	p		q
		+pq+		≥1+p+q
	q		p

wynika z faktu, że lewa strona jest co najmniej równa 2 + pq (suma odwrotności dwóch liczb dodatnich jest co najmniej równa 2). Z kolei nierówność 2 + pq ≥ 1 + p + q równoważna następującym 1 + pq ≥ p + q (p−1)q ≥ p − 1 (p − 1)(q − 1) ≥ 0 przy założeniu p ≤ 1 i q ≤ 1 jest prawdziwa. "Ciąg myślowy" jest więc taki:

	p		q
		+pq+		≥ 2 + pq ≥ 1+p+q.
	q		p