Oblicz Natalia:

	4
Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 to		≤ √ab
	2   2   + a   b

ICSP: H₂ ≤ G₂

2
	≤ √ab
1   1   + a   b

Mnożąc licznik i mianownik wyrażenia po lewej stronie przez 2 dostajesz tezę.

Benny: Z nierówności między średnią geometryczną, a harmoniczną. śr.g≥śr.h

	2
√ab≥
	1   1   + a   b

	2		2
√ab≥		*
	1   1   + a   b		2

	4
√ab≥
	2   2   + a   b

Natalia: Tzn?

PW: Zdobywamy nową wiedzę − warto poznać to twierdzenie. Elementarny dowód polega na wykonaniu działań po lewej stronie. Nierówność równoważna to

	2ab
		≤ √ab,
	a+b

a ponieważ liczby są dodatnie, po podzieleniu stronami przez √ab dostajemy także nierówność równoważną

	2√ab
		≤ 1
	a+b

i następną po pomnożeniu przez dodatni mianownik: (1) 2√ab ≤ a + b, która jest mutacją znanej oczywistej nierówności (2) 2xy ≤ x² + y² (wystarczy podstawić √a = x i √b = y). Równoważność prawdziwej nierówności (1) i badanej nierówności świadczy, że teza jest prawdziwa. Jak by nie patrzył, otrzymaliśmy dowód nierówności między średnią harmoniczną a średnią geometryczną, o której pisali Koledzy. W dowodzie rozpatruje się jeszcze, dla jakich a i b ma miejsce równość − jest to oczywiste, gdy popatrzymy na nierówność (2).

Natalia: Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź

ICSP: bądź tak: Dla dowolnych dodatnich liczb a oraz b zachodzi znana nierówność:

a + b
	≥ √ab
2

	1		1
skoro a i b są dodatnie to liczby c i d zdefiniowane następujaco : a =		oraz b =
	c		d

również są dodatnie. Wstawiajac je do powyższej nierówności otrzymujemy:

1   1   + c   d		1
	≥
2		√cd

co jest równoważne :

2
	≤ √cd
1   1   + c   d