zespolone Benny: Kumpel na wykładzie miał zespolone i dostał jakieś zadanko. Staram się mu pomóc, ale nie znam za bardzo pojęć, definicji.

	√3		i
(1+		+		)24
	2		2

Próbowałem tu liczyć moduł, podstawienia trygonometryczne, ale jakoś nic nie szło.

PW:

	√3		1		3		1
|z|2 = (1+		)2 +		= 1 + √3 +		+		= 2 + √3
	2		4		4		4

|z| = √2+√3

	Rez		2+√3		√2+√3
cosφ =		=		=		,
	|z|		2√2+√3		2

a to jest cos15°. Ale to trzeba wiedzieć, zwłaszcza że nawet w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów wartość cos15° została podana jako

	√6+√2
		.
	4

Sprawdzić, że

	√6+√2		√2+√3
		=
	4		2

można łatwo podnosząc obie liczby do kwadratu. Nasza liczba to z²⁴ = (√2+√3(cos15°+isin15°))²⁴

ICSP: a ja mam następujące podejście : 1 + cosθ + isinθ =

θ

θ

θ

θ

θ

θ

=sin2(

)+cos2(

)+cos2(

)−sin2(

)+2isin(

)cos(

) =

2

2

2

2

2

2

	θ		θ		θ
= 2cos2(		) + 2isin(		)cos(		) =
	2		2		2

	θ		θ		θ
= 2cos(		) * [ cos(		) +isin(		) ]
	2		2		2

PW: Świetne! Wtedy cosφ = ... i świat jest piękny. Trzeba jednak powiedzieć, że oba sposoby bardzo trudne dla początkujących. Po pierwszym wykładzie!

Benny: Nie czytałem tego i właśnie doszedłem do rozwiązania, które podał PW. Rozwiązanie ICSP bardzo mi się podoba, jest krótkie i zrozumiałe. Miałeś to na wykładach czy samo to jakoś ogarnąłeś?

ICSP: Na wykładach są głównie twierdzenia oraz ich dowody a nie przykłady strikte obliczeniowe.

Benny: Zobaczymy jak to będzie. Na następnych ćwiczeniach/wykładach mam mieć zespolone to już coś więcej będę wiedział

Mila: Benny, miałeś już matematykę? Wrażenia?

Benny: Mało zajęć mam coś. Wczoraj miałem algebrę, ale nie wiem czy to wykład czy ćwiczenia, niby 1,5h, ale Pani doktor brała cały czas do tablicy. Później jeszcze takie spotkanie organizacyjne na wfie i dziś znowu algebra. Jak na razie mało się dzieje, nie mamy podanych żadnych książek, same zadanka lecą.

Mila: I co było z tej algebry?

Benny: Iloczyn kartezjański i indukcja. Jakaś jedna może definicja podana i reszta to zadania.

Mila: Trudne zadanka? Czy już znane ?

Benny: Z tego iloczynu jakieś dziwne przekształcenia, za chwilę poszukam i się właśnie zapytam. Z indukcji już kiedyś coś szukałem, więc w sumie nic nowego.

Benny: Trzeba było sprawdzić czy prawdziwe są równości: c) (AxB)∪(CxD)=(A∪C)x(B∪D) i tutaj ktoś rozwiązywał na tablicy tylko wychodził od prawej strony do lewej, dało się ogarnąć, ale właśnie coś mi nie wychodziło jak wychodziłem od lewej. d) (AxB)∩(CxD)=(A∩C)x(B∩D) tutaj mam coś zapisane, ale nie jestem pewny czy dobrze. Mogłabyś rozwiązać?

Qulka: coś jak to http://scr.hu/10cn/c3noh

Benny: No właśnie ja wyszedłem z lewej i też wyszło mi mi, że L=P a to nieprawda. Można to pokazać graficznie, ale ja właśnie chce wiedzieć jak z lewej dojść do prawej. Tutaj mam rozwiązanie z prawej do lewej. (x,y)∊A∪C ⋀ y∊B∪D ⇔ (x∊A ⋁ x∊C) ∧ (y∊B ∨ y∊D) ⇔ (x∊A ∧ y∊B) ∨ (x∊A ∧ y∊D) ∨ (x∊C ∧ y∊B) ∨ (x∊C ∧ y∊D) ⇔ (x, y)∊(AxB) ∨ (x, y)∊(AxD) ∨ (x, y)∊(CxB) ∨ (x, y)∊(CxD) ⇔ (x, y)∊(AxB)∪(AxD)∪(CxB)∪(CxD) no i z tego wynika, że (x,y)∊(AxB)∪(CxD) L⊂P, ale P⊄L więc równość jest nieprawdziwa.

Benny: @Qulka to właśnie udowadnialiśmy na zajęciach.

Qulka: to było Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC) a tu bliższy Twojego http://prntscr.com/8n1fpd

Qulka: oj też nie...chyba będę musiała rozpisać sama

Benny:

Qulka: bo pierwsza nie jest prawdziwa zrób sobie na obrazku

Benny: No wiem właśnie, że nie jest prawdziwa. Wrzuciłem rozwiązanie i napisałem, że widać to na obrazku. Nie wiem jak wyjść tylko od lewej do prawej.

Qulka: najpierw niebieski to AxB potem zielony CxD to lewa a różowy to prawa (A∪C)x(B∪D)

Mila: Rozpisz Qulka (c)

henrys: do pierwszej, bez obrazka, jeśli A=∅ i D=∅, (AxB)∪(CxD)=∅, ale A∪C=C, B∪D=B, CxB≠∅

Mila: Podaj , jakie własności iloczynu kartezjańskiego masz podane i wykazane.

Benny: AxB={(a,b): a∊A ⋀ b∊B} A₁xA₂x....xA_n={(a₁,a₂,...,a_n): a_i∊A_i} Aⁿ={(a₁,a₂,...,a_n): a_i∊A} wykazane, że (A∪B)xC=(AxC)∪(BxC), (A∩B)xC=(AxC)∩(BxC)

Mila: Benny. masz dobrze 22:34

Benny: Milu ja wiem, że to jest dobrze, bo tak ktoś rozwiązał na zajęciach. Ja tylko nie wiem jak wyjść od lewej strony.

Qulka: dokładnie w drugą stronę ..piszesz od końca te równoważności

henrys: Benny we wpisie z 22:34 dowodzisz implikację (⇒) L⇒P, tutaj nie ma równoważności więc implikacji z L⇒P nie dowiedziesz

henrys: z P⇒L

henrys: czy tam na odwrót, tak czy siak im wyszło, a w odwrotna stronę nie wyjdzie

Benny: Nie da się więc lewej strony przekształcić, żeby otrzymać sprzeczność?

henrys: to jest źle zrobione

Benny: Co jest źle?

daras: @ ICSP za moich czasów było i to i to

Benny:

henrys: Benny dlaczego w tym dowodzie z tego, że (x,y)∊(AxB)∪(AxD)∪(CxB)∪(CxD) wynika, że (x,y)∊(AxB)∪(CxD) ?

Benny: Znaczy, bo tam zabrało mi znaku implikacji w drugą stronę. Na końcu właśnie powinno być, że z (x,y)∊(AxB)∪(CxD)⇒(x,y)∊(AxB)∪(AxD)∪(CxB)∪(CxD)

Benny:

Benny: ref

henrys: aaa, to tak, w tym dowodzie masz pokazane, ze L⊂P (bierzemy jakiś (x,y)∊P i pokazujemy, że nie musi on należeć do L, bo zbiór po prawej stronie jest większy w sensie inkluzji). Gdybyś wziął jakiś (x,y)∊L, to cokolwiek z nim nie zrobisz i tak będzie należał do P, więc nie ma jak przekształcić L, żeby dostać sprzeczność, na czym na sprzeczność miałaby polegać?

Benny: Miałaby polegać na tym, że P⊄L. Czyli nie da się wyjść z lewej strony, aby sprawdzić czy równanie jest prawdziwe?

henrys: ,,z Lewej strony równanie jest prawdziwe", jeśli (x,y)∊L⇒(x,y)∊P

Benny: Dziwne rzeczy, przecież, żeby było prawdziwe to te iloczyny zbiorów muszą być sobie równe. To jak L=P?

henrys: Jeśli wychodzisz z lewej strony, to rozważasz (x,y)∊L, jedyne co dostaniesz to to, że należą też do P, o pozostałych elementach zbioru P nic nie wiesz, bo cały czas pracujesz na elementach L.

henrys: mówimy o zadaniu c) ?

Benny: Czyli najlepiej rozłożyć prawą i lewą stronę, żeby coś zauważyć?

henrys: no najlepiej

Benny: d) przeliczysz?

henrys: (x,y)∊(AxB)∩(CxD)⇔(x,y)∊(AxB)⋀(x,y)∊(CxD)⇔(x∊A⋀y∊B)⋀(x∊C⋀y∊D)⇔ x∊(A∩C)⋀y∊(B∩D)⇔(x,y)∊(A∩C)x(B∩D)

henrys: tutaj cały czas mamy równoważność

Benny: No to ten przykład mam dobrze rozwiązany. Chyba lepiej rysować, żeby sobie sprawdzić. Może być tak, że będzie wymagana taka metoda, a nie będzie można graficznie?

henrys: wiesz Benny ja ekspertem nie jestem jak równość nie jest prawdziwa, to wskazanie kontrprzykładu na rysunku wystarcza, ale jak równość jest prawdziwa to na rysunek raczej nie wystarczy jako dowód.

Benny: Trzeba być dobrej myśli

Mila: Aby wykazać, że tw. fałszywe, wystarczy podać kontrprzykład.

Benny: Na jakimś egzaminie czy czymś tam to wystarczy?

Mila: Jak najbardziej, miałam ongiś kolokwium z topologii, były podane 3 tw. fałszywe i coś tam jeszcze, właśnie podałam kontrprzykłady i pięknie zaliczyłam, a większość grupy otrzymała dwóje, próbowali jakoś formalnie wykazać, co było trudne.

Benny: To ładnie Co myślisz o elementach logiki i teorii mnogości? Jak tak zaglądałem do książki to jakoś to do mnie nie przemawia.