Indukcja matematyczna - podzielność kamil: Zadania z indukcji matematycznej, dotyczące podzielności : 1) 6|n³+5n Zał: 6|m³+5m Teza: 6|(m+1)³+5(m+1) Dowód:

	1		1
(m+1)3+5(m+1)=m3+3m2+3m+1+5m+5=m3+5m+3m2+3m+6=m3+5m+6(		m2+		m)+6
	2		2

Czy można to tak zapisać, jak tu :

	1		1
6(		m2+		m)+6 ?
	2		2

Jeśli nie, to w jaki sposób? 2) 25|2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4 Zał : 25|2^m+2*3^m+5m−4 Teza: 25|2^m+1+2*3^m+1+5(m+1)−4 Dowód :

	1
2m+1+2*3m+1+5(m+1)−4=2*2m+2*3*3m+5m+5−4=6*2*2m+2*3*3m+5m−4+		*25
	5

Proszę o ocenę i ewentualne poprawki.

kamil:

	1
W ostatniej linii powinno być 6*2m+2*3m+5m−4+		*25
	5

Janek191: 1^o m = 1 1³ + 5*1 = 6 ok 2^o 6 I m³ + 5 m , więc m³ + 5 m = 6 k, gdzie k ∊ℕ₁ zatem ( m +1)³ + 5*( m + 1) = m³ + 3 m² + 3 m + 1 + 5 m + 5 = = m³ + 5m + 3 m² + 3 m + 6 = 6 k + 3m*( m + 1) + 6 Liczba m*( m +1) dzieli się przez 2, więc 3m*( m +1) dzieli się przez 6, dlatego 6 k + 3m*( m +1) + 6 dzieli się przez 6. Na mocy indukcji matematycznej jest 6 I ( m³ + 5 m )

kamil: Dzięki. a ten drugi przykład?

Janek191: 2ⁿ⁺²*3ⁿ + 5 n − 4 = 4*2ⁿ*3ⁿ + 5 n − 4 = 4*6ⁿ + 5 n − 4 25 I 4*6ⁿ + 5 n − 4 więc 4*6ⁿ + 5 n − 4 = 25 k ⇒ 4*6ⁿ = 25 k − 5 n +4 k ∊ℕ₁ 1^o n = 1 4*6¹ + 5* 1 − 4 = 25 ok 2^o 4*6ⁿ⁺¹ + 5*( n +1) − 4 = 4*6*6ⁿ + 5 n + 5 − 4 = = 6* 4*6ⁿ + 5 n + 1 = 6*( 25 k − 5 n + 4) + 5 n + 1 = = 25*6 k − 30 n + 24 + 5 n + 1 = 25*6k − 25 n + 25 = = 25*( 6 k − n + 1)

Benny: (n+1)²+5(n+1)=(n+1)[(n+1)²+5]=(n+1)(n²+2n+6)=6(n+1)+(n+1)(n²+2n)=6(n+1)+n(n+1)(n+2) Chyba wiesz, że to całe wyrażenie dzieli się przez 6?

Benny: Oczywiście na początku ma być (n+1)³

kamil: Nie rozumiem nic z tego, mógłbyś przekształcić moje wyrażenie? Ja robię to trochę innym sposobem, i nie chciałbym się uczyć nowego bo wszystko mi się myli. Chodzi o przykład 2, bo podejrzewam,że tylko wynik na końcu u mnie jest zły prawda?

kamil: Nie rozumiem co za przekształcenia są na początku drugiego zadania.