znaleźć największą i najmniejszą wartość wyrażenia Irena: znaleźć najmniejszą i największą wartość wyrażenia a² + ab + b², jeśli wiadomo, że 1≤ a² + b² ≤2 Proszę o pomoc

ICSP: Nie wiem czy to dobra droga ale ja próbowałbym tak: a = rcosΦ b = ysinΦ gdzie: r ∊ [1 , √2] i Φ ∊ [0 , 2π) Wtedy :

	1
a2 + ab + b2 = r2(1 +		sin(2Φ))
	2

	1		1		3
Mamy teraz : 1 ≤ r2 ≤ 2 oraz		≤ 1 +		sin(2Φ) ≤
	2		2		2

Wystarczy pomnożyć te dwie nierówności stronami.

ICSP: b = rsinΦ

Irena: raczej nie tędy droga, bo to zad dla chętnych ale z kl 1 LO

Kacper: Irena jaka to szkoła?

Irena: LO Nysa

henrys: podpowiedź: znajdź oszacowanie dolne i górne i sprawdź czy istnieją takie a i b, dla których to wyrażenie osiąga krańcowe wartości oszacowania.

ZKS:

	1
Wychodzi mi tak samo jak u ICSP minimum równe		oraz maksimum równe 3.
	2

henrys: minimum =0 max=3

henrys: a nie, pomyłka

PW: Ireno, a uczyliście się ostatnio o nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną?

PW: Nie ma dialogu − nie ma podpowiedzi.

Irena: PW: ja to "dobra ciocia" co chcę pomóc. O takiej nierówności w kl1 LO chyba jeszcze nie było...

PW: No to jak − chcesz pomagać, a minimum programowego nie znasz? Spytaj w takim razie "pomocobiorcę".

Irena: PW: widzę, że bardziej wychodzi Ci pouczanie niż pomaganie:( p.s. nierówność Cauchy`ego jest studiach a nie w kl1 szkoły średniej. Nie mniej jednak dziękuję za zainteresowanie tematem

wmboczek: Jak wykazać na poziomie 1LO, że max będzie na linii a=b a min na a=−b?

PW: Daruj sobie oceny. Przecież powiedziałem jak to rozwiązać. Wskazówka: Znana jest nierówność (założenia pomijam):

	x + y
(*) √xy ≤		.
	2

Zastosuj ją do oszacowania |ab| = √a²b². Zdolniejszy uczeń pierwszej klasy jest w stanie udowodnić nierówność (*) jednym palcem, nawet jeśli jej nie było na lekcji.

ZKS: Bardzo łatwo. −(a + b)² ≤ 0 ≤ (a − b)² Minimum dla a + b = 0, natomiast maksimum dla a − b = 0.

PW: ZKS, to mają być konkretne liczby, ekstrema sumy a² + ab + b² przy podanym warunku dla a² + b².

ZKS: PW idąc dalej otrzymamy przy szacowaniu −(a² + b²) ≤ 2ab ≤ a² + b²

	a2 + b2		a2 + b2
−		≤ ab ≤
	2		2

	a2 + b2		a2 + b2
a2 + b2 + ab ≥ a2 + b2 −		=
	2		2

	1
minimum dla a2 + b2 = 1, wartość wynosi
	2

	a2 + b2		3
a2 + b2 + ab ≤ a2 + b2 +		=		(a2 + b2)
	2		2

maksimum dla a² + b² = 2, wartość wynosi 3.

ZKS: Jak taki sposób dla licealisty jest za trudny to już nie mam pomysłu innego.

Benny: Mi się pomysł podoba

PW: Jasne, to samo proponowałem:

	a2+b2
|ab| ≤
	2

jako efekt zastosowania nierówności między średnimi. Mówiąc między nami bardziej wierzę w znajomość tej nierówności przez pierwszaka niż to co zaproponowałeś (proste, ale genialne, tego uczeń nie wymyśli, no jeden na stu, który już w gimnazjum główkował).

ZKS: Mój post z 20:13 był tak naprawdę skierowany do wmboczek, który pytał " Jak wykazać na poziomie 1LO, że max będzie na linii a=b a min na a=−b? ". Dalej już się samo potoczyło.

PW: Szukał ekstremum funkcji f(x,y) = xy w pierścieniu kołowym?

henrys: hmmm, górne oszacowanie i max dostajemy od razu z nierówności (a+b)²≥0

a2+b2
	≥ab dla każdego ab.
2

Nad dolnym trzeba trochę popracować

henrys: (a−b)²≥0

henrys: kurde, nie widziałem co pisaliście

wmboczek: do ZKS, PW tak właśnie chodziło o ekstremum xy i x²+y² O ile oszacowanie górne daje się zrobić na piechotkę (suma max) o tyle z dolnym nie mogę uzasadnić przekonująco na poziomie 1LO coś się zakręciłem na xy=k wyrażone przy pomocy x+y=k hiperbola → prostą min wew pierścień i prosta do niego styczna

Irena: Dzięki wszystkim za pomoc. Pierścień kołowy był dobrym pomysłem (bardziej przemawiał do wyobraźni), a mnie osobiście nierównść Cauchy`ego odpowiada.