Oblicz
Natalia: Wykaż, że jeżeli x+y+z = 0 to x3 + y3 + z3 = 3xyz
29 wrz 17:20
:): x+y+z=0
wiec
x+y=−z
wiec
(x+y)3=−z3
x3+3x2y+3xy2+y3=−z3
wiec
x3+y3+z3=−3(x2y+xy2)=−3xy(x+y)
ale x+y+z=1 wiec x+y=−z wiec −3xy(x+y)=−3xy(−z)=3xyz
29 wrz 17:29
anaisy: Innaczej:
Rozważmy wielomian P(a)=(a−x)(a−y)(a−z). Ze wzorów Vieta mamy
P(a)=a3−(x+y+z)a2+(xy+yz+zx)a−xyz=a3+(xy+yz+zx)a−xyz. Liczba x jest pierwiastkiem wielomianu
P(a), zatem x3+(xy+yz+zx)x−xyz=0. Analogicznie otrzymujemy
x3+(xy+yz+zx)x=xyz
y3+(xy+yz+zx)y=xyz
z3+(xy+yz+zx)z=xyz.
Stąd po dodaniu stronami
3xyz=x3+y3+z3+(xy+yz+zx)x+(xy+yz+zx)y+(xy+yz+zx)z=x3+y3+z3+(xy+yz+zx)(x+y+z)=
=x3+y3+z3
29 wrz 17:57
:): bardzo fajnie
29 wrz 18:02
Natalia: Super, dziękuję bardzo !
29 wrz 20:01
PW: Warto w ogóle pamiętać, że jest gotowy wzór:
(x+y+z)3−(x3+y3+z3) = 3(x+y)(x+z)(y+z)
(kto nie wierzy, niech liczy).
29 wrz 20:34