Indukcja matematyczna kamil: Jak zrobić to zadanie za pomocą indukcji? Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi : 1*4+2*7+3*10+...+n*(3n+1)=n*(n+1)²

J: 1) sprawdzasz dla : n = 1 2) wykazujesz,że: n(n+1)² + (n+1)*[(3(n+1) +1] = (n+1)[(n+1) + 1]²

kamil: ok, wkleję później moje rozwiązanie do sprawdzenia

dadam: I krok: dla n=1 L=1*(3*1+1)=4 P=1*(1+1)²=4 czyli L=P II krok zakładam, że powyższe tw prawdziwe dla wszystkich n≤k, i pokażę , że prawdziwe jet także dla n=k+1 Zał: 1*4+2*7+...+k(3k+1)=k*(k+1)² Teza:1*4+2*7+...+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)*(k+2)² Dowód:1*4+2*7+...+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)²+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k(k+1)+ 3k+4)=(k+1)(k²+4k+4)=(k+1)(k+2)²

kamil: w tezie : k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)*(k+2)² Mógłby ktoś pokazać jak to się wymnożyło po kolei? Nie wiem jak to się robi, próbowałem sam wymnożyć i nie wychodzi mi (k+1)*(k+2)²

Qulka: https://matematykaszkolna.pl/strona/1116.html

kamil: Nie rozumiem

Qulka: pierwszy nawias powinieneś mieć bez 3 i do kwadratu

Qulka: w tezie nie zostawiasz ostatniego tylko podstawiasz z założenia

Qulka: założenie było 1*4+2*7+...+k(3k+1) = k*(k+1)² więc w dowodzie z tezy 1*4+2*7+...+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)*(k+2)² zielone podstawiasz z założenia i masz k*(k+1)²+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)*(k+2)²

kamil: To rozumiem, ale skąd w TEZIE wyszło z (k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)*(k+2)² Po wymnożeniu mam ja mam (k+1)*(3k+4)..

Qulka: z treści zadania ..to po lewej ma się równać temu po prawej k*(k+1)²+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)*(k+2)² k*(k+1)²+(k+1)(3k+4)=(k+1)*(k+2)² (k+1)(k(k+1)+(3k+4))=(k+1)*(k+2)² (k+1)(k²k+4k+4)=(k+1)*(k+2)² (k+1)*(k+2)²=(k+1)*(k+2)² L=P

kamil: Już rozumiem dzięki