wykaż że Marek: Wykaż, że jeśli n∊N to liczba 7ⁿ⁺² − 2ⁿ⁺² +7ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 10 Zrobiłem to na dwa sposoby, ale oba moim zdaniem są zbyt trudne jak na zadanie ze zbioru podstawowego. Pierwszy sposób to badanie ostatniej cyfry, co przy tak skomplikowanym wyrażeniu uważam za trochę trudne. Drugi sposób to łatwe dojście do podzielności na 2 (wystarczy wyciągać przed nawias), a żeby dojść do podzielności przez 5 to wchodzi zastosowanie wzoru aⁿ−bⁿ (dostajemy wtedy (7−2)(....)). Macie jakiś inny pomysł?

J: = (7 − 2)ⁿ⁺² + (7 − 2)ⁿ⁺¹ = 5ⁿ*25 + 5ⁿ*5 −= 5ⁿ*30

henrys: @ J?

J: ojj ... poważny bład ... nie było wpisu

Benny: To wyrażenie zapiszemy tak: 7ⁿ(49+7)−2ⁿ(4+2)=50*7ⁿ+6*7ⁿ−6*2ⁿ=50*7ⁿ+6(7ⁿ−2ⁿ)= =50*7ⁿ+6(7−2)(7ⁿ⁻¹+7ⁿ⁻²*2+...+2ⁿ⁻¹)=50*7ⁿ+30*(7ⁿ⁻¹+7ⁿ⁻²*2+...+2ⁿ⁻¹)= =10[5*7ⁿ+3(7ⁿ⁻¹+7ⁿ⁻²*2+...+2ⁿ⁻¹)]=10k Chyba dobrze?

Marek: Benny ok, ale chciałem coś bez wykorzystania wzory aⁿ−bⁿ

henrys: może tabelka dla ostatniej cyfry każdego składnika i sumy?

:): INDUKCJA n=1 sprawdzić zakładamy, że 7ⁿ⁺²−2ⁿ⁺²+7ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹=10k 7ⁿ⁺²⁺¹−2ⁿ⁺²⁺¹+7ⁿ⁺¹⁺¹−2ⁿ⁺¹⁺¹ =7*7ⁿ⁺²−2*2ⁿ⁺²+7*7ⁿ⁺¹−2*2ⁿ⁺¹ =7*7ⁿ⁺²−7*2ⁿ⁺²+7*7ⁿ⁺¹−7*2ⁿ⁺¹+5*2ⁿ⁺²+5*2ⁿ⁺¹ =7(7ⁿ⁺²−2ⁿ⁺²+7ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹)+5*2*(2ⁿ⁺¹+2) =7*10k+10*(2ⁿ⁺¹+2)=10*COS

:): tam powinno być −5*2ⁿ⁺¹..i potem konsekwentnie..ale to nie ma znaczenia wiekszego

:): chociaz nie...nie wiem czemu mi sie tak umyslalo

henrys: indukcja, ładnie

henrys: ups , tam coś nie gra? czy mi się zdaje?

henrys: wszystko gra sorki

Benny: @Marek Wzór aⁿ−bⁿ jest zastosowany W pierwszej linijce jest coś tam +6(7ⁿ−2ⁿ) i dalej to rozłożone

Benny: Och, źle zrozumiałem Twój post

Marek: no to pozostaje tylko badanie ostatniej cyfry Wzoru aⁿ−bⁿ nie ma na podstawie, a indukcji teraz w ogóle nie ma w liceum

henrys: rób tabelkę

Benny: @henrys, o jaką tabelkę się rozchodzi?

henrys: n| 7ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺² | 2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺² | 7ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²−2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺² 1| 9+3 2 | 4+8 2| 2−2=0 2| 3+1 4 | 8+6 4| 4−4=0 3| 1+7 8 | 6+2 8| 8−8=0 4| 7+9 6 | 2+4 6| 6−6=0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 5| 9+3 2 | 4+8 2| 2−2=0 6| .... 4 4 7| .. ... Młodzież sobie zauważa, że liczby zaczynają się powtarzać, ostatnia cyfra liczby 7ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺² jest taka sama jak ostatnia cyfra liczby 2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺² więc ostatnią cyfrą ich różnicy jest zero, zatem podana liczba jest podzielna przez 10

henrys: w szóstym wierszu odskoczyła mi 4 Pytanie, dlaczego zaczynają się powtarzać? Czy będą się ciągle powtarzać? Uzasadnienie pozostawiam Markowi

Benny: Ach o taką tabelkę się rozchodzi. Na AGH−u w 3 etapie było właśnie zadanko: Znajdź wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 7, przez które podzielna jest liczba L=3²⁰¹⁶+4, zadanko banalne, wystarczy tylko zauważyć cykliczność

henrys: w pierwszym wierszu ostatni składnik, powinno być −2ⁿ⁺² a nie +2ⁿ⁺²

henrys: o widzisz tutaj akurat zostaje tylko 5, więc łatwo sprawdzić właśnie przez cykliczność

Marek: @henrys uzasadnić okresowość funkcji f(n)=aⁿmodb, gdzie a,b,n∊N₊? Nie mam pojęcia Jakaś podpowiedź?

henrys: znajdź okres

henrys:

Mila: Podpowiedź: Uzasadnić okresowość funkcji f(n)=aⁿ (mod b), gdzie a,b,n∊N+?

	an
f(n)=an−b*[		]
	b

	an
[		] − część całkowita.
	b

Ustal a i b i rozpisz kilka wartości to zrozumiesz.

Marek: aⁿmodb = a^n+Tmodb a^n+Tmodb − aⁿmodb = 0 (a^n+T − aⁿ)modb =0 a^n+T − aⁿ = kb, k∊N a^n+T = aⁿ +kb n+T = log_a(aⁿ+kb) T = log_a(aⁿ+kb) − n yyyy co?

Marek:

	an+T		an
an+T−b[		]=an−b[		]
	b		b

da się z tego wyznaczyć T?

henrys: No nie wiem, może tak Niech g(n)=aⁿ h(n)=n(modb) jest funkcją okresową f(n)=h(g(n))=aⁿ(modb) jest okresowa

Marek: jeśli [^a_b] = ^a_b−c ,c∊<0,1) to

	an+T		an
an+T−an = b*([		] − [		])
	b		b

	an+T		an
⇔ an+T−an = b*(		−c −		+d) , c,d∊<0,1)
	b		b

a^n+T−aⁿ = a^n+T−aⁿ + bk , k=d−c a żeby to zachodziło, to b=0 (nie może) lub k=0 czyli c=d jak interpretować?

Marek: @henrys nie psuj mi zabawy

henrys: baw się!

Marek: oj bez sensu za późno na myślenie, bo robię głupie rzeczy