Wzory Viete'a przy wielomianach kasandra238: Wyznacz takie wartości m, dla których równanie x³−(m+1)x²+(m−3)x+3=0 ma trzy pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Wiem, że trzeba zrobić z wzorów Viete'a, ale nie wychodzi. Mógłby ktoś spróbować?

Mila: Sprawdzamy, czy jakiś dzielnik liczby 3 jest rozwiązaniem tego równania: W(1)=1−(m+1)+(m−3)+3=1−m−1+m−3+3=0 Niezależnie od wyboru m liczba x=1 jest rozwiązaniem podanego równania: dzielisz w(x)=x³−(m+1)x²+(m+3)+3 przez (x−1) W(x)=(x−1)*(x²−mx−3) P(x)=(x²−mx−3) Δ=m²+12>0 dla każdego m∊R, zatem istnieją dwa różne pierwiastki Teraz rozważasz przypadki:

	x1+x2
1) 1=		⇔x1+x2=2
	2

Z wzorów Viete'a x₁+x₂=m Stąd m=2 Lub

	1+x2
2) x1=		⇔
	2

2x₁=1+x₂ Z wzorów Viete'a x₁+x₂=m x₁*x₂=−3 x₂=2x₁−1 spróbuj dokończyć, jutro spojrzę, bo już zasypiam. Napisz odpowiedź , jeśli masz.

PW: Dla rozrywki rozwiążmy to znacznie bardziej skomplikowanym sposobem. Nie dlatego, że lubię komplikować, ale jest w tym jakaś "inna metoda". Możemy się też zorientować "Jak oni te zadania układają". Wielomian trzeciego stopnia opisany w zadaniu musi mieć (dla pewnej dodatniej liczby a) postać (1) P(x) = (x+a)x(x−a) (właśnie taki ma trzy pierwiastki spełniające założenia choć nie ma wyrazu wolnego równego 3), albo być jego "bliźniakiem" powstałym w wyniku przesunięcia wykresu o pewien wektor [p, 0], czyli wielomianem (2) Q(x) = (x+a−p)(x−p)(x−a−p), a > 0, p∊R. Q(x) = ((x−p)² − a²)(x−p) = (x−p)³ − a²(x−p) Q(x) = x³ − 3x²p + 3xp² − p³ − a²x + a²p (3) Q(x) = x³ − 3px² + (3p² − a²)x + a²p − p³ Mamy podane w zadaniu, że (4) W(x) = x³ − (m+1)x² + (m − 3) x + 3. Przyrównanie współczynników wielomianów (3) i (4) daje układ równań: (5) 3p = m+1 (6) 3p²−a² = m−3 (7) a²p−p³ = 3. Po podstawieniu (5) do (6) otrzymujemy układ dwóch równań: (6') 3p²−a² = 3p − 4 (7) a²p−p³ = 3. Wynikające z (6') a² = 3p² − 3p + 4 podstawiamy do (7), co daje 3p³ − 3p² + 4p − p³ = 3 2p³ − 3p² + 4p − 3 = 0, wielomian po lewej stronie dzieli się przez (x−1): (p−1)(2p²−p+3) = 0. Jedynym rozwiązaniem jest p = 1, co podstawione do (5) daje m = 2. Odpowiedź mamy, nie musimy szukać a. Dla sprawdzenia policzmy podstawiając p = 1 do (7): a²·1 − 1³ = 3 a² = 4 a = 2 (zakładaliśmy a > 0). Wielomian W jest więc uzyskany z wielomianu P(x) = x(x−2)(x+2) = x³ − 4x w wyniku przesunięcia wykresu o wektor [p, 0] = [1, 0]. Sprawdzenie: P(x−p) = P(x−1) = (x−1)³ − 4(x−1) = x³−3x²+3x−1−4x+4 = x³ − 3x² − x + 3. Zgadza się: P(x−1) = W(x) gdy uwzględnimy m = 2. Pierwiastkami P są −2, 0 i 2, więc pierwiastkami W są −1, 1 i 3.

Mila: Witaj PW. Kasandra wróży.