Zbior liczb R 5-latek: Udowodnij ze : a)Jezeli m i n sa liczbami naturalnymi oraz √m+√n jest liczba wymierna to iloczyn mn jest pelnym kwadratem . b) czy na odwrot,jezeli iloczyn dwoch liczb naturalnych jest pelnym kwadratem ,to suma ich pierwiastkow jest liczba wymierna ? Na konkretnych liczbach to pokaze ze tak jest ale to musi byc dowod

Nuti: Coś ze wzoru skróconego mnożenia: (√m+√n)²=m+n+2√mn?

Nuti: b) na pewno nie, weź np. m=2*3 i n=2*3*25.

Nuti: W b) nie musi być dowodu, bo − jeżeli się udowadnia, że jakieś stwierdzenie nie jest prawdziwe − znalezienie kontrprzykładu stanowi wystarczający dowód. Czy chodzi Ci o to, że ma być dowód w a)?

5-latek: Czesc Nuti A co z tym √mn?

Nuti: Skoro mn jest pełnym kwadratem, to √mn jest liczbą naturalną.

Nuti: Cześć

Nuti: Nie, czekaj! źle Ci mówię!

Nuti: Tu trzeba udowodnić, że mn jest pełnym kwadratem...

5-latek: tak chodzi o dowod bo potem jest nastepne zadanie Udowodnij ze jesli suma √m+√n pierwiastkow dwoch liczb naturalnych m i n jest liczba wymierna to obie liczby m i n sa pelnymi kwaratami (to jest oznaczone jako trudne zadanie

henrys:

	p		s
√m=		, √n=
	q		t

	p2		s2
m=		n=
	q2		t2

	ps
mn=(		)2
	qt

5-latek: Nie mam do tego zadnej odpowiedzi

Nuti: Z tamtego wzoru (o 9:44) mamy:

	1
√mn=		*((√m+√n)2−m−n).
	2

Po prawej mamy liczbę wymierną (z założeń), więc po lewej też. Trzeba tylko pokazać, że pierwiastek z liczby naturalnej może być albo liczbą naturalną, albo niewymierną (czyli że jeżeli jest wymierny, to jest l. nat.). Może to mieliście na lekcjach? To jest oczywiste, ale nie chce mi się teraz myśleć nad formalnym dowodem...

Nuti: @henrys skoro oni wszystkiego tak formalnie muszą dowodzić, może muszą też dowieść, że fakt, że suma tych pierwiastków jest liczbą wymierną implikuje wymierność składników sumy?

henrys: może

henrys: pomyślimy

5-latek: Czeschenrys Juz wiem co do 1 zadania . dziekuje

henrys: czesc, czesc

5-latek: Napisalem (wiem) na podstawie Twojego postu z 9:53

henrys: ale to tylko zarys, trzeba jeszcze coś tam dopowiedzieć

5-latek: czy to ze oba pierwiastki musza byc liczba wymierna ?

Nuti: Dlaczego sczerniałeś, 5−latku?

5-latek: Bo cos mi przegladarka szaleje

Nuti: A, myślałam, że się źle czujesz

5-latek: Nuti Pewnie jak wroce z pracy to tak Wgrali mi nowa przegladarke i pewnie cos wczoraj wlaczylem niepotrzebnie

henrys: 1) suma dwóch liczb dodatnich a i b jest wymierna ⇔ a i b są liczbami wymiernymi 2) n∊ℕ, √n jest liczba wymierną ⇔ n jest kwadratem liczby naturalnej, n=k²⇒√n=k jest liczbą naturalną z 1) i 2) m,n∊ℕ, √m+√n jest liczba wymierną ⇔√n i √m są liczbami naturalnymi⇔n=k² i m=l²⇒ ⇒ mn=k²l²=(kl)² 1) i 2) były dowodzone na poprzedniej lekcji tak wyglądałoby moje rozwiązanie

zombi: 1) Nieprawda a = √2 b = 2 − √2, a+b = 2, wymierne, ale ani a ani b nie są.

zombi: Tzn. mówie o tym co napisał henrys.

henrys: masz rację w 1) zachodzi tylko: a,b wymierne ⇒a+b wymierna, nie ma tam równoważności

henrys: całość do kosza

zombi: Z założenia mamy, że m,n∊ℕ Zapisujemy, że √m + √n = k∊ℚ, podnosimy obustronnie do kwadratu. m + n + 2√mn = k², czyli

	k2−m−n
√mn =		, pozostaje pytanie czy ta liczba po prawej stronjie jest podzielna przez
	2

2. Otóż jest bo jeśli jeśli liczba √m daje reszty k przydzieleniu przez 2 (k = 0,1) to również liczba m, daje taką samą resztę. A jak wiadomo, √m + √n = k, czyli suma tych pierwiastków daje jakąś resztę to równiez suma kwadratów tych liczb daje taka samą resztę przy dzieleniu przez 2. Wobec tego k² − (m+n) dzieli sie przez 2, wobec tego wiemy, że

	k2−m−n		k2−m−n
√mn =		∊ℤ, czyli mn = (		)2∊ℤ
	2		2

zombi: W pokazaniu tej podzielności przez 2 korzystamy z faktu, ze jeśli a ≡ r (mod 2), to również a² ≡ r (mod 2). Łatwo udowodnić bo przez 2 mamy tylko dwie reszty, 1 lub 0. Dokładniej rozpiszę dlaczego k² − (m+n) jest podzielne przez 2. Otóż jeśli √m ≡ r₁ (mod 2) oraz √n ≡ r₂ (mod 2). To k ≡ r₁+r₂ (mod 2) (r₁,r₂ = 0 lub 1). Czyli k² ≡ r₁+r₂ (mod 2). Korzystamy z lematu wyżej. Ale ponadto m ≡ r₁ (mod 2), oraz n ≡ r₂ (mod 2). Więc k² − (m+n) ≡ (r₁+r₂) − (r₁+r₂) (mod 2) ≡ 0 (mod 2), czyli liczba k² − (m+n) jest podzielna przez 2, więc

k2−(m+n)
	jest liczbą całkowitą. I teraz jak to podniesiesz do kwadratu uzyskujesz
2

kwadrat liczby całkowitej.

zombi: b) Oczywiście sprzeczność weźmy m = 2 n = 2, ich iloczyn jest pełnym kwadratem, bo mn = 2², ale biorąc √m + √n = √2 + √2 = 2√2 ∉ ℚ.

henrys: nie wysłało się

henrys: @zombi skoro zakładasz, że √m jest liczba całkowitą to √m=k, m=k² √n=s, n=s² mn=(sk)², tyle po co te wszystkie zabiegi?

zombi: Ty milcząco korzystasz z faktu, że jeśli (1) (√m + √n∊ℚ oraz m,n∊ℕ) ⇒ (m,n są postaci k²), który również wypadałoby udowodnić. Jasne są dwa rozwiązania. Twoje wykorzystujące lemat (1) oraz moje wykorzystujące lemat związany z podzielnością przez 2.

zombi: Nie mówię, że twoje rozwiązanie jest złe, bo jest ok tylko trzeba udowodnić (1) i skorzystać z niego.

henrys: tak czy inaczej bazujemy na tym samym założeniu: √m∊ℤ, więc nie muszę korzystać nawet z 1)

zombi: Ale nie masz założenia, że √m∊ℤ! Twoje założenia to m,n∊ℕ oraz √m + √n ∊ℚ, ty dopiero masz pokazać, że √m oraz √n ∊ ℤ.

zombi: Przyjmujesz za założenie coś czego nie podano, a wniosek że tak jest bez jakiegokolwiek dowodu, to słaba opcja.

henrys: w swoim dowodzie robisz dokładnie to samo, nie krzycz

henrys: ,,Otóż jeśli √m ≡ r1 (mod 2) oraz √n ≡ r2 (mod 2)."

5-latek: Przepraszam ale zapoznam sie z waszymi postami jak wroce z pracy .

henrys:

	p		p2
Niech n,p,q∊ℕ, √n=		, gdzie NWD(p,q)=1, n=
	q		q2

p
	∊ℕ ⇔ q|p,
q

	p2		p*p
n=		=		∊ℕ, ⇒qq|pp ponieważ NWD(p,q)=1⇒ q=1 ⇒n=p2⇒√n=p∊ℕ
	q2		q*q

henrys: dalej Założenie: √m+√n ∊ℚ Niech m≥n m−n=(√m−√n)(√m+√n)∊ℕ

	m−n
√m−√n=		∊ℚ ⇒ √m−√n∊ℚ
	√m+√n

√m−√n+√m+√n=2√m∊Q⇒√m∊Q,√n∊ℚ ⇒m=k², n=s²

henrys: zamiast tego warunku m≥n lepiej dać po prostu m,n≠0

henrys: przepraszam, żeby było bezpiecznie m,n≠0, m>n, nie zmieni to zadania

5-latek: Na razie dziekuje CI bardzo