Wykaż, że Piotr: Wykaż, że dla dowolnych różnych od zera liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

a2+ab+b2		1
	≥
a2−ab+b2		3

Janek191: Mamy a ≠ 0 i b ≠ 0 oraz 2*(a + b)² ≥ 0 2 a² + 4 a*b + 2 b² ≥ 0 3 a² + 3a*b + 3 b² ≥ a² −a*b + b² / : ( a² − a*b + b²)

3*( a2 + a*b + b2)
	≥ 1 / : 3
a2 − a*b + b2

a2 + a*b + b2		1
	≥
a2 −a*b + b2		3

ckd.

Piotr: Dziękuję

PW: Niech b = ka, k∊R

a2 + ka2 + k2a2		1 + k + k2
	=		=
a2 − ka2 + k2a2		1 − k + k2

	k2+1 − k + 2k		2k
=		= 1 +
	k2 + 1 − k		k2 − k + 1

Wyróżnik funkcji kwadratowej w mianowniku jest ujemny, zatem mianownik jest dodatni dla wszystkich k. No to "połowę zadania" już mamy: dla nieujemnych k badane wyrażenie jest co najmniej równe 1, czyli teza jest prawdziwa. Pozostaje zbadać, czy dla ujemnych k prawdziwa jest nierówność

	2k		2
		≥ −
	k2 − k + 1		3

	1
k ≥ −		(k2 − k + 1), k < 0
	3

a to już jest zwyczajna nierówność kwadratowa "na połowie osi".