Dla odwzorowania wyznacz Imf, Kerf Tomek: Dla odwzorowania f:R² → R³, f(x) = (x₁−x₂ ; 2x₁ − 2x₂ ; −x₁+x₂) wyznacz: a) Imf b) Kerf Czy f jest: iniekcją, suriekcją?

Nuti: Macierz tego odwzorowania to 1 −1 2 −2 −1 1 Co z tego wynika?

Nuti: Czy może być suriekcją (odwzorowaniem „na") funkcja liniowa z przestrzeni o wymiarze 2 w przestrzeń o wymiarze... ehem... większym?

Andrzej1987: Nie

Nuti: Otóż to! Chociażby dlatego, że dim(Imf)+dim(Kerf)=2, czyli Imf nie może być całym R³.

Nuti: Kerf={(x₁,x₂)∊R², x₁=x₂} bo każdy taki wektor przechodzi na (0,0,0). Dim(Kerf) to 1. Wniosek: Dim(Imf) też.

Nuti: No? Co z tym? Wszystko, co jest w obrazie, wygląda tak k*(1, 2, −1) (dla każdego wektora to k jest różnicą jego współrzędnych), czyli cały obraz jest wygenerowany przez wektor (1, 2, −1) w R³. Jest więc jednowymiarowy. Jasne? Pozostała Ci iniekcja (odwz. różnowartościowe), ale z powyższego opisu jest jasne, że f iniekcją nie jest, bo przenosi wszystkie wektory o tej samej różnicy między współrzędnymi na ten sam punkt / wektor w R³.