dowody algebraiczne Jakub123: 1. Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wykaż, że a² + b² +2≥2(a+b)

	a2		b2−1
2. Wykaż że jeżeli a>1 i b>1 i		=		, to a=b
	b2		a2−1

3. Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wykaż, że a² + b² +4≥2(a+b−ab)

:): 1. (a−1)²=a²−2a+1≥0 (b−1)²=b²−2b+1≥0 dodając stronami a²+b²+2−2(a+b)≥0 więc a²+b²+2 ≥ 2(a+b)

:): 2.

a2		b2−1
	=		a,b>1
b2		a2−1

czyli a²(a²−1)=b²(b²−1) a⁴−a²−b⁴+b²=0 a⁴−b⁴+b²−a²=0 (a²−b²)(a²+b²)+(b²−a²)=0 −(a²+b²)(b²−a²)+(b²−a²)=0 (b²−a²)(1−(a²+b²))=0 a,b>1 wiec a²+b²>2 wiec (1−(a²+b²)) jest niezerowe zatem b²−a²=0 czyli (b−a)(b+a)=0 ale znów b+a>2 (bo a,b>1) wiec b−a=0 wiec a=b

:): 3. ((a+b)−2)²≥0 czyli (a+b)²−2(a+b)+4≥0 czyli (a+b)²≥2(a+b)−4 czyli a²+2ab+b²≥2a+2b−4 czyli a²+b²+4≥2a+2b−2ab czyli a²+b²+4≥2(a+b−ab)