f(x)=x^4+x^2+1 jest monotoniczna Dominik: Korzystając z definicji uzasadnić że funkcja f(x)=x⁴+x²+1 jest monotoniczna na zbiorze (−∞,0] Próbuje rozwiązać to tak. x1<x2 f(x2)−f(x1)= x₂⁴+x₂²+1−(x₁⁴+x₁²+1)= no i nie zabardzo wiem co z tym dalej robić. Próbowałem coś ze wzorów skróconego mnożenia (x₂²+1)²−x₂−(x₁²+1)²+x₁ no ale to chyba zła droga do rozwiązania

5-latek: x₁−x₂<0 f(x₁)−f(x₂)<0

Dominik: Dalej nie łapię

PW:

	1		3
f(x) = (x2+		)2 +
	2		4

− takie przekształcenie przepisu na funkcję jest dozwolone, a może łatwiej będzie dowodzić?

Dominik:

	1		1
wychodzi mi coś takiego (x12+		)2−(x22+		)2
	2		2

z racji tego że x<0 ∧ x1−x2<0⇒ f(x₁)−f(x₂)>0 czyli funkcja jest malejąca

	1		1
(x12+		)2>(x22+		)2
	2		2

Da się to jakoś "ładniej" zapisać?

PW: Tę różnicę kwadratów z pierwszego wiersza zapisz jako iloczyn sumy i różnicy.

Dominik: W sensie tak?

	1		1		1		1
((x12+		)−(x22+		)((x12+		)+(x22+		)) =
	2		2		2		2

	1		1
=(X12−X22)((x12+		)+(x22+		))=
	2		2

	1		1
=(X1−X2)(X1+X2)((x12+		)+(x22+		))
	2		2

X₁−X₂<0 x<0 ⇒x₁+x₂<0 /////////tą linijkę da się jakoś inaczej zapisać?

	1		1
(x12+		)+(x22+		))>0
	2		2

czyli f(x1)−f(x2)>0 czyli funkcja jest malejąca

PW: Tak trochę "przeleciałeś" nad problemem. (x₁−x₂)(x₂+x₂)(x₂²+x₂²+1) Jest to iloczyn trzech czynników, z których: − pierwszy jest ujemny z założenia − drugi jest ujemny jako suma dwóch liczb ujemnych − trzeci jest dodatni jako suma liczb dodatnich. Wniosek: iloczyn jest dodatni Widać, że tak rozumujesz, ale trzeba się tego domyślać.(dlatego wolę opisy słowne).

Dominik: Ok dziękuje za pomoc.