zadania opty... Kamil S.: liczbę 1 przedstaw jako sumę takich dwóch składników aby suma ich szescianow byla najmniejsza.....

Nuti: Szybko się redukuje do trywiału a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)=(a+b)((a+b)²−3ab)=1*(1−3ab)=−3ab to musi być minimalne przy a i b dających w sumie 1. Dziwnie to wygląda, nie pomyliłam się?

Nuti: czyli znaleźć minimum −3a(1−a)

Nuti:

	1		1
E, nieciekawe,		+		...
	2		2

Janek191: a + b = 1 ⇒ b = 1 − a więc a³ + b³ = ( a + b)*(a² − a*b + b²) = a² − a + a² + 1 − 2a + a² = 3 a² − 3a + 1

Janek191:

	3
p =		= 0,5
	2*3

Odp. 0,5 + 0,5 = 1

Nuti: Coś tu sknociłam, bo ta suma wychodzi ujemna

Nuti: A, już widzę, mam szukać minimum 1−3ab=1−3a(1−a). Zgubiłam jedynkę...

anaisy: Inaczej: Niech 1=a+b, przy czym a³+b³ jest najmniejsze możliwe. Gdy a, b ≥0, z nierówności między średnimi potęgowymi mamy

1		a+b		a3+b3
	=		≤3√		.
2		2		2

Równość w powyższej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy a=b. Załóżmy teraz, że jedna z liczb, b.s.o. b jest ujemna i podstawmy x=−b, wtedy 1+x=b, czyli b>1Otrzymujemy

	1
b3−x3=(b−x)(b2+bx+x2)=b2+bx+x2>1+bx+x2>1>
	4

	1
Stąd a=b=		.
	2

Nuti: @anaisy Bardzo ładne rozw., ale wymaga znajomości dodatkowych faktów.