wielomiany truskawka: dla jakich wartości parametru m równanie x⁴ −(m+1)x²+m = 0 ma 3 różne rozwiązania? zrobiłam to tak, że za x² podstawiłam t no i założenie, że równanie z t musi mieć 2 różne rozw. w tym jedno =0 i jedno >0. czyli: Δ>0 t₁t₂=0 t₁+t₂>0 Δ= m²+2m+1−4m=m²−2m+1 Δm = 0 m₀ = 2/2=1 czyli z tego wynika, że m∊{1}? Bo z wzorów Viete'a mam, że t₁t₂ = 0 <=> m=0 a t₁+t₂>0 <=> m<1 czyli pasowałoby, że to zachodzi tylko dla m=0 i ta jest w odpowiedziach, ale nie wiem, jak interpretować tę deltę, że pierwiastek jest równy 1

Kacper: Δ>0 ⇔ m²−2m+1>0 ⇔ m≠1

truskawka: dlaczego nie równa się 1?

truskawka: ?

Nuti: Bo gdyby równało się 1, to delty byłaby 0, a wtedy byłby pierwiastek podwójny, a Ty chcesz różnych pierwiastków. Jasne?

Nuti: Chociaż ta równoważność z 10:05 nie jest poprawna, jest tylko wynikanie.

Nuti: A nie, sorry, jest Ok, bo ta delta może być tylko dodatnia lub zero i wykluczamy 0, czyli m równe 1... Wszystko gra!

truskawka: czyli to Δ m jest równa 1 i to mi nie przeszkadza, żeby potem stwierdzić, że samo m jest równe 0?

truskawka: ?

Kacper: Widzę, że masz problem z rozwiązaniem nierówności m²−2m+1>0 Potraktuj to jak osobne zadanie i rozwiąż tę nierówność

truskawka: Δ=4−4=0

	2
m0=		=1
	2

i co oznacza to 1?

PW: Równanie czwartego stopnia ma trzy rozwiązania (słowo "różne" jest zbędne) wtedy i tylko wtedy, gdy lewa strona daje się przedstawić w postaci (x − x₁)²(x²+bx+c), gdzie trójmian x² + bx + c ma dwa pierwiastki różne między sobą i różne od x₁. W tym wypadku mamy do czynienia z tzw. równaniem dwukwadratowym. Jego rozkładem na czynniki może być tylko (t−t₁)(t−t₂) lub (t−t₀)², czyli (x²−t₁)(x²−t₂) lub (x²−t₀)². Druga wersja nie spełnia warunków zadania (równanie miałoby co najwyżej dwa rozwiązania). Interesuje na zatem tylko równanie (x²−t₁)(x²−t₂) = 0, które ma trzy rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników (niech będzie to x²−t₁) ma tylko jeden pierwiastek, a drugi jest rozkładalny, czyli gdy t₁ = 0 i t₂ > 0. Warunki zadania spełnia więc wielomian postaci x²(x² − t₂), t₂ > 0. Skoro tak, to jednym z rozwiązań jest liczba 0. Podstawiamy do wyjściowego równania: 0⁴ − (m+1)0² + m = 0 m = 0. Sprawdzenie. Dla m = 0 badane równanie ma postać x⁴ − x² = 0 x²(x²−1) = 0 x²(x−1)(x+1) = 0 − rzeczywiście ma 3 rozwiązania. Z uciechą stwierdzam, że nie korzystaliśmy ani z wyróżnika Δ, ani z wzorów Viéte'a.

truskawka: no tak, dziękuję xD

Mariusz: Słowo różne nie jest zbędne chyba że chcemy mieć zdanie fałszywe