ekstrema funkcji dwóch zmiennych jusia: Hejka, mam takie zadanko... Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=(x+y)²+y⁴ niestety Hesjan =0 więc metoda nie rozstrzyga jak sobie z tym poradzić? pomocyyy

J: Jakie masz punkty stacjonarne ?

jusia: (0,0) tylko

PW: Znalezienie minimum to zadanie na poziomie gimnazjum. Mamy do czynienia z sumą kwadratów.

J: Jeśli funkcja ma ekstermum, to na każdej linii przechodzacej przez punkt stacjonarny funkcja obcięta do tej linii też ekstremum. Jeśli zatem znajdziemy chociaż jedną prostą , przechodzącą przez punkt stacjonarny i funkcja jednej zmiennej nie będzia miała ekstremum w tym punkcie, to funkcja f(x,y) też nie ma ekstrmum Niech x = 0 . wtedy f(1,0) = (0+y)² + y⁴ = y² + y⁴ i ta ostatnia nie posiada ekstremum w (0,0), a zatem funkcja wyjściowa też nie posiada ekstremum w tym punkcie.

jusia: wolfram mówi,że posiada.... minimum globalne... jakieś pomysły jeszcze?

J: sorry ... posiada minimum ...popatrzyłem na: y² + y⁴ jako pochodną, a de facto pochodna, to f'(y) = 2y + 4y³

Nuti: Jasne, że posiada minimum globalne! @PW nawet wyjaśnił, dlaczego. Niżej zera nie zejdziemy, choćbyśmy się zastarali na śmierć.

J: ostatecznie ... funkcja f(x,y) posiada minimum globalne w punkcie (0,0)

jusia: a może można się powołać na coś takiego; f(x,y) > f(0,0)=0 ?

J: raczej na fakt,że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych: a² + b² ≥ 0 i równe zero tylko wtedy,gdy a = 0 i b = 0 ( wartość minimalna )

jusia: a coś takiego: mamy sume parzystych poteg wiec osiaga minimum ta suma gdy f(x,y)=0 wtw (x,y)=(0,0) wiec (0,0) jest minimum globalne

J: no o to właśnie chodzi

J: miałem napisać o 14:37 : a² + b⁴ ≥ 0

jusia: ok dziekuje serdecznie