Oblicz granicę funkcji
Malza: Hej,
Potrzebuję pomocy odnośnie zadania z obliczeniem granicy. Mam obliczyć granicę przy x dążącym
| x2−2 | |
do 1− (x −> 1−) z funkcji |
| . |
| (x−1)4 | |
Generalnie zrobiłem tak, że rozdzieliłem w mianowniku (x−1)
4 na (x−1)
2 * (x−1)
2, wzory
skróconego mnożenia i wymnożenie nawiasu przez nawias, po czym wyciągnąłem najwyższą potęgę
licznika przed nawias (zarówno w liczniku, jak i w mianowniku). Otrzymałem dzięki temu
| 1 | |
|
| . Odpowiedzią jest −∞, czyli dobrze by było, gdyby mianownik dążył do 0−, ale |
| x2−4x+6 | |
funkcja w mianowniku nie ma miejsc zerowych i nie dąży do tego 0
−. Co zrobiłem źle? :F
16 wrz 20:31
Nuti: Nie rozumiem ani jak się pozbyłeś x2−2 w liczniku, ani jak otrzymałeś x2−4x+6 w mianowniku...
16 wrz 20:48
Nuti: Tutaj w ogóle nie trzeba nic liczyć, tylko trochę porozumować.
Przy x dążącym do 1 licznik dąży do 1−2, czyli do −1, z obu stron.
Mianownik dąży do zera. Też z obu stron.
Masz więc sytuację „stała ujemna przez zero" (przez wartości dodatnie, bo czwarta potęga
czegokolwiek rzeczywistego jest dodatnia), czyli granica jest −∞.
16 wrz 20:52
Malza: Po użyciu wzorów skróconego mnożenia i wymnożeniu wszystkiego w mianowniku uzyskałem lim
Następnie wyciągnąłem najwyższą potęgę w liczniku z mianownika i licznika:
| | |
lim |
| . |
| | 4 | | 1 | | x2 * ( x2 − 4x + 6 − |
| + |
| ) | | x | | x2 | |
| |
| 2 | | 4 | | 1 | | 1 | |
x2 skracam, |
| , |
| , |
| −−> 0 i dostaję |
| . |
| x | | x | | x2 | | x2−4x+6 | |
16 wrz 21:00
Malza: Mimo tego faktycznie wystarczyło, że zrobię tak jak mówisz. Trochę się zagalopowałem i sam nie
mam pojęcia, po co zrobiłem to w ten sposób.
16 wrz 21:02
Nuti: | 2 | | 1 | |
Twój podstawowy błąd polegał na tym, że |
| i |
| wcale nie dążą do zera, tylko do 2 |
| x | | x2 | |
i do 1, bo x dąży do 1, a nie do
∞
Ty tak to obliczałeś, jakby twój x dążył do
∞, plus lub minus. To wtedy wykonuje się takie
wygibasy, bo mamy często sytuacje, w których nie da się określić granicy bez specjalnych
obliczeń, gdy mamy wyrażenia tzw. nieoznaczone, typu zero przez zero, nieskończoność razy
zero,... Ty tu tego nie masz.
16 wrz 21:09
Malza: Rzeczywiście. :f Troszkę mi się wymieszały te sposoby na obliczanie przykładów. Dzięki wielkie
za pomoc.
16 wrz 21:16