Wyznacz wartości parametru a kromka: Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie: sin³α + 2a sinα + 4a = −1 ma dwa rozwiązania w przedziale <0,2π>

truskawka: od czego w ogóle zacząć w tego typu zadaniach?

truskawka: też mam z takimi równaniami problemy...

Nuti: Zastanowię się nad tym, ale wyjeżdżam teraz na kilka godzin. Myślę, że można się zastanowić nad wielomianem W(x)=x³+2a*x+4a+1 i zbadać, dla jakich wartości par. a ma pierwiastek w przedziale od −1 do 1. Taki tylko wstępny pomysł, będę myśleć dalej.

kromka: dziękuję ... trygonometria zawsze chyba będzie dla mnie czarną magią...

Nuti: Wróciłam i zapiszę rozwiązanie. Trochę to potrwa...

Nuti: Rozważamy więc wielomian x³+2a*x+4a+1 i sprawdzamy, dla jakich parametrów a wielomian ten ma miejsca zerowe w przedziale [−1,1]. Dlaczego tak? Bo wstawiliśmy wszędzie x w miejsce sinα (żeby było łatwiej), a wiadomo, że sinus przyjmuje wartości od −1 do 1. Takie pytanie (do @kromki): Czy chodzi o znalezienie parametrów, przy których twoje równanie ma dokładnie dwa rozwiązania czy przynajmniej dwa rozwiązania? W każdym razie, warto wiedzieć o funkcji g(α)=sinα, że dla α z przedziału od 0 do 2π (obustronnie domkniętego) przyjmuje każdą wartość 0<t<1 i każdą wartość −1<t<0 po dwa razy, wartość 1 i −1 po jednym razie, a wartość 0 trzy razy. No to badamy W(x). Jest to wielomian stopnia trzeciego, ale badamy jego zachowanie tylko w przedziale [−1,1], bo interesują nas tylko te argumenty, które mogą być wartościami funkcji sinus. W(−1)=−1−2a+4a+1=2a W(1)=1+2a+4a+1=2+6a. Miejsce zerowe wielomianu jest gdzieś wewnątrz przedziału [−1,1], gdy wartości w punktach brzegowych mają różne znaki. Są dwie możliwości: 1. W(−1)>0, a W(1)<0 czyli 2a>0 i 2+6a<0 czyli

	1
a>0 i a<−		.
	3

Jest to oczywiście niemożliwe (a nie może być jednocześnie dodatnia i ujemna). 2. W(−1)<0, a W(1)>0 czyli 2a<0 i 2+6a>0 czyli

	1
−		<a<0.
	3

Dla takich a wielomian W ma przynajmniej jedno miejsce zerowe wewnątrz przedziału od −1 do 1, a każde takie miejsce zerowe dostarcza dwóch rozwiązań wyjściowego równania trygonometrycznego. (Tutaj pozostaje ewentualnie sprawa tego, czy ważne jest dla nas, by były to dokładnie dwa rozwiązania czy przynajmniej dwa...). Co się dzieje, gdy wielomian ma miejsce zerowe na którymś z brzegów przedziału? 1. Gdy W(−1)=0 (czyli 2a=0, a więc a=0). Ile rozwiązań będzie miało wyjściowe rozwiązanie?

	3π
Tylko jedno, α=		, bo przy a=0 nasze równanie redukuje się do sin3x=−1.
	2

	1
2. Gdy W(1)=0 (czyli 2+6a=0, a więc a=−		). Czy istnieje jakieś rozwiązanie oprócz
	3

	π
α=		? Nie, bo
	2

	2		1		1		1
W(x)=x3+2a*x+4a+1=x3−		x−		=		(3x3−2x−1)=		(x−1)(3x2+3x+1) i widać, że
	3		3		3		3

drugi wielomian jest nierozkładalny (delta ujemna). W tym przypadku mamy więc tylko jedno rozwiązanie. Odpowiedź ostateczna:

	1
Tylko dla −		<a<0 nasze równanie ma (przynajmniej) dwa rozwiązania w przedziale [0,2π].
	3

Pozostaje wątpliwość, czy nie chodziło o DOKŁADNIE dwa rozwiązania. Mogą one oczywiście

	1
występować jedynie dla −		<a<0, ale być może niektóre trzeba będzie wykluczyć.
	3

Mogłam się gdzieś pomylić, ale wydaje mi się, że rozumowanie jest w miarę Ok.

kromka: chodziło o dokładnie dwa rozwiązania dziękuję Nuti, teraz wszystko jasne, jesteś świetna !

truskawka: a gdyby chodziło o tylko jedno, albo dokładnie trzy rozwiązania, to co wtedy?