PW: Na przykładzie 5 siedzeń policzmy ile jest rozróżnialnych usadzeń 5 dzieci na karuzeli.
Ustawiamy siedzenia w rządku na ziemi, dzieci zajmują miejsca w dowolnej kolejności − sposobów
jest 5!
| | 2πR | |
Zaczepiamy łańcuchy do wszystkich siedzeń, drugie końce zaczepiamy w odstępach |
| na |
| | 5 | |
obręczy wysoko nad ziemią, tak żeby nie splątać łańcuchów (w tej samej kolejności, w jakiej
były siedzenia na ziemi). Ponieważ karuzela obraca się, istotne na ziemi odróżnienie 5
permutacji
(a
1, a
2, a
3, a
4, a
5)
(a
5, a
1, a
2, a
3, a
4)
(a
4, a
5, a
1, a
2, a
3)
(a
3, a
4, a
5, a
1, a
2)
(a
2, a
3, a
4, a
5, a
1)
staje się niemożliwe − ważne jest, że w każdej z nich a
1 bezpośrednio poprzedza a
2, a
2
poprzedza a
3, a
3 poprzedza a
4, a
4 poprzedza a
5 i a
5 poprzedza a
1. Stało się tak, gdyż
zajmujące na ziemi skrajne pozycje w ciągu a
5 i a
1 są sąsiadami po zawieszeniu na obręczy.
Dlatego też wzór na liczbę rozróżnialnych rozstawień 5 elementów na obwodzie koła ma postać
Kiedy dwa wyróżnione elementy zajmą sąsiednie pozycje na obwodzie? Gdyby miały to być a
1 i
a
2, to zdarzeniami sprzyjającymi przy ustawieniu krzesełek na ziemi są:
a
1, a
2, x, y, z
x, a
1, a
2, y, z
x, y, a
1, a
2, z
x, y, z, a
1, a
2
a
2, x, y, z, a
1,
gdzie x, y, z oznaczają pozostałe elementy, które w każdym wypisanym ciągu mogą się dowolnie
zamieniać między sobą na 3! sposobów. Różnych permutacji na ziemi jest więc 5·3!. Drugie tyle
permutacji powstanie, gdy a
1 i a
2 będą sąsiadowały ze sobą w odwrotnej kolejności niż wyżej.
Wzór na liczbę
rozróżnialnych rozmieszczeń na karuzeli, w których dwa ustalone elementy
sąsiadują ze sobą, ma postać
| | 2·5·3! | |
|
| = 2·3! = 2·(5−2)! |
| | 5 | |
Co zrobić, gdy mamy 12 elementów, z których 8 rozstawiamy na obwodzie jednego koła, zaś 4 na
obwodzie drugiego? Ustawić te elementy w rzędzie, po czym początkowe 8 rozmieścić na obwodzie
pierwszego koła, pozostałe 4 na obwodzie drugiego.
Wzór na liczbę rozmieszczeń 12 dzieci na wspomnianych dwóch karuzelach powinien mieć postać
co wynika z liczenia rozróżnialnych permutacji 8 elementów po obwodzie i 4 elementów po drugim
obwodzie.
Teraz tylko pomyśleć − ile pozycji w rzędzie 12 osób mogą zająć dwie wybrane osoby, tak by po
utworzeniu 2 karuzel trafiły do jednej z nich, i w związku z tym ile może być rozróżnialnych
rozstawień opisanych w zadaniu.