Pochodne Psychopata: Pytanie o pochoidne czy dobrze robię zadanie Zbadaj czy istnieją takie wartości parametrów m,k ∊ R dla których funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze R. Wyznacz f' f(x)= 2x²+k²x gdy x<2 i x+m gdy x≥2 Tutaj chodzi o to żeby − sprawdzić czy istnieją pochodne jednostronne w punkcie 2 (czyli przy h → 0 z prawej i lewej strony) jak są one równe to znaczy że funkcja w punkcie 2 ma pochodną − funkcja musi być ciągła w zbiorze R, o ile liniowa i kwadratowa zawsze są ciągłe to trzeba sprawdzić czy f(2)=lim_x→2+ x+m=lim_x→2− 2x²+k²x

Nuti: Tak, musisz znaleźć takie m i k, przy których jest i ciągłość i różniczkowalność. Ciągłość otrzymujesz po prostu przez przyrównanie wartości dla x=2 według obu wzorów. No i drugi warunek, pochodna − najprościej będzie policzyć pochodne z obu stron f'(x)=4x+k² dla x<2 i f'(x)=1 dla x≥2. Mają być równe dla x=2.

Nuti: Odpowiedź jest zresztą negatywna, bo warunek równości pochodnych jednostronnych wymusza 4*2+k²=1 a takie k oczywiście nie istnieje (widzisz, dlaczego?)

Nuti: ale ciągłość można osiągnąć, bo można znaleźć pary (m,k) spełniające m=2k²+6.

Psychopata: Tak widzę. Nie odpisywałem bo mnie w domu nie było. Ok zostały mi jeszcze − ekstremum funkcji (dziwne cholerstwo sporo na pamięć trzeba będzie pewnie) − największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale − badanie przebiegu zmienności funkcji − zadania optymalizacyjne Może do końca jutrzejszego dnia się z tym wyrobię

Nuti: Nie martw się, Psychopato, poradzisz sobie. Znajdź sobie jakiś fajny schemacik postępowania, pewnie nawet jest na tej stronie. Co do monotoniczności i ekstremów funkcji różniczkowalnych, to liczy się pochodną i się patrzy: − w jakich przedziałach ujemna (tam funkcja maleje) − w jakich dodatnia (tam funkcja rośnie) − a gdzie zero i zmienia znak (tam ekstremum lokalne): − gdy zmienia znak z plusa na minus, to max (bo f najpierw rosła do tego punktu, a później w dół) − gdy z minusa na plus, to min (bo najpierw f malała do tego miejsca, a od niego siup! w górę). Zawsze pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny i zbadaniu, jak funkcja się zachowuje w okolicy punktów nienależących do dziedziny (granica w obu nieskończonościach i granice lewo− i prawostronne w punktach nienależących do dziedziny, ale będących „blisko" niej).

Mila: http://www.math.com.pl/analiza-matematyczna-1/badanie-przebiegu-zmiennosci-funkcji/