zadanie dla orłów! janusz: Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 6 cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami jest równa 30o. Oblicz jaką najmniejszą wartość może mieć obwód tego trójkąta.

ax: 6(1+sin15^o)

Mariusz: a , (6−a) , 30˚ c²=a²+(6−a)²−2a(6−a)cos(30˚) c²=a²+(6−a)²−√3a(6−a) a²+36−12a+a²−6√3a+√3a² (2+√3)a²−(12+6√3)a+36 f(a)=√(2+√3)a²−(12+6√3)a+36 Szukasz minimum tej funkcji Pochodne, ekstrema i takie tam Z tego co wyjdzie bierzesz wartości dodatnie

Nuti: Najmniejszy obwód takiego trójkąta to 6+3√2−√3. Dowód − pewnie można prościej, ale ja liczyłam z twierdzenia cosinusów. Obwód jest minimalny gdy trzeci bok jest minimalny (bo suma pozostałych jest stała), a trzeci bok jest minimalny gdy kwadrat jego długości jest minimalny (bo mamy do czynienia z liczbami dodatnimi, a funkcja y=x² jest rosnąca dla dodatnich). Szukamy więc minimalnego kwadratu długości trzeciego boku, a wzór na to daje nam właśnie twiedrzenie cosinusów. Oznaczamy długości boków przy kącie 30 stopni przez x i 6−x. Długość trzeciego boku to z.

	√3
z2=x2+(6−x)2−2x(6−x)*		=
	2

= (2+√3)x²−6(2+√3)x+36. Wierzchołek paraboli ma x_w=3, co daje z²=(2+√3)3²−6(2+√3)*3+36=9(2−√3). Minimalne z jest więc 3√2−√3, w przypadku trójkąta równoramiennego o bokach długości 3 przy kącie 30 st.

Eta:

janusz: sory ze tak pozno, ale dzięki