Liczba zespolona trudny przykład. Student: Mam problem z takim przykładem z³= i|z| Jak go rozwiązać ? Jakieś wskazówki ?

PW: Wskazówka: prawa strona równości jest iloczynem jednostki urojonej i liczby rzeczywistej, jest więc liczbą "czysto urojoną" (albo w szczególnym wypadku zerem). Wobec tego z³ musi być liczbą "czysto urojoną", czyli Rez = 0 (albo z = 0).

ICSP: PW nie wiem czy twój wniosek jest taki oczywisty

PW: Re z³ miało być, masz rację.

Mila: z³= i|z| Skorzystaj z postaci wykładniczej Spróbuję podpowiedzieć. z=r*e^iφ, z³=r³e^3iφ i=e^iπ₂ stąd równanie : r³e^3iφ=r*e^iπ₂ r³=r⇔r=0 lub r=1 ( r>0) r=0 to z=0

	π
3φ=		+2kπ, 0≤φ<2π
	2

licz dalej

PW: Rozwiążę swoim sposobem (właściwie dla siebie, bo Student zarzucił starania) − choćby po to, żeby pokazać to co ojciec mówił Robinsonowi Crusoe. (x+iy)² = x²−y²+2ixy (x+iy)³ = (x+iy)(x²−y²+2ixy) = x(x²−y²)−2xy² + i(2x²y+y(x²−y²)) Re(x+iy)³ = x³ − 3xy² Imz³ = 3x²y − y³ Re(x+iy)³ = 0 ⇔x³ − 3xy² = 0 ⇔ x = 0 ∨ x² = 3y² ⇔ x = 0 ∨ (x=0∧y=0) ∨ (x≠0 ∧ x² = 3y²) Środkowa możliwość już została przewidziana wcześniej jako oczywiste rozwiązanie z₀ = 0.. Jeżeli x = 0 i y≠0, to badane równanie ma postać (iy)³ = i|y| ⇔ −iy³ = i|y| ⇔ −y³ = |y| ⇔ y = −1, a więc rozwiązaniem jest liczba z₁ = − i (sprawdzamy podstawiając do równania). Dla trzeciej wersji równanie ma postać iImz³ = i|z|, skąd po podzieleniu przez i i podstawieniu otrzymamy 3x²y − y³ = |z| 9y³ − y³ = √x²+y² 8y³ = √4y² 8y³ = 2|y| 4y³ = |y|,

	1
y =		,
	2

zatem

	1
x2 = 3(		)2
	2

	3
x2 =
	4

Sprawdzamy:

	3		1
|z|2 = x2+y2 =		+(		)2 = 1,
	4		2

a więc |z| = 1 i badane równanie ma postać

	√3		1		√3		1
(		+i		)3 = i lub (−		+i		)3 = i
	2		2		2		2

	√3		√3
− w zależności od tego czy x =		, czy x = −		,
	2		2

	1		1
		(√3+i)3 = i lub		(−√3+i)3 = i
	8		8

Tylko druga równość jest prawdziwa, a więc trzecim rozwiązaniem jest

	√3		1
z2 = −		+ i
	2		2

Mila: Wszystko zgadza się z moimi rozwiązaniami. Student nie skorzystał, po co wpisywał?

Braun: Miał może poprawkę ?