Równanie kwadratowe ale bez delty Paula: Jak to rozwiązać bez delty? A właściwie wykazać, że dla dowolnego k istnieje rozwiązanie ? (x+1)(x+3)+k(x+2)(x+4)=0 Jakieś kombinacje z wzorami skróconego mnożenia? Pomocy

PW: Może trzeba pomyśleć o wierzchołkach parabol (są w zadaniu dwie parabole, według autora zadania powinny się przecinać).

Nuti: Dla k=0 istnieją oczywiście dwa rozwiązania, −1 i −3. Załóżmy więc, że k jest różne od 0. Oznacz sobie W(x)=(x+1)(x+3)+k(x+2)(x+4) i wylicz wartości dla tych argumentów x, które zerują wyrażenia w pierwszych nawiasach. Otrzymujesz: W(−1)=3k W(−3)=−k Wielomian W (funkcja ciągła na całym zbiorze R!) przyjmuje więc wartości o różnych znakach w −1 i −3. To znaczy, że ma miejsce zerowe gdzieś pomiędzy −3 a −1. Uczyliście się już o funkcjach ciągłych i ich własnościach?

Nuti: Własność funkcji ciągłych, z której korzystam, nazywa się własnością Darboux.

Kacper: Nuti raczej zbyt wysoki poziom

Nuti: Sorki, a czym dysponujemy?

henrys: niestety nie własnością Darboux (nie ma w programie)

Kacper: Własności funkcji ciągłych są w programie, ale zapewne jesteśmy na etapie funkcji kwadratowej, a nie rachunku różniczkowego

Nuti: Trzeba jednak bez delty... Ale skoro rozwiązanie z wierzchołkami paraboli byłoby Ok, to nie będzie Ok jeśli ktoś stwierdzi, że funkcja kwadratowa, którą analizujemy, osiąga gdzieś wartość ujemną, a gdzieś dodatnią? Uczniowie wiedzą, jak wygląda parabola i może taki argument jest wystarczający na tym poziomie? Że gdzieś ta parabola musi przez to zero przejść? Bez powoływania się na Darboux. No bo jak by wyglądał argument z położeniem wierzchołków, gdyby człowiek nie dysponował chociażby intuicyjnym obrazem linii ciągłej łączącej jakieś tam punkty?

Paula: To zadanie z I klasy Lo, program rozszerzony i pojawiło się przy okazji kwantyfikatorów.

ICSP: (x+1)(x+3) + k(x+2)(x+4) = (x + 1)(x + 3) + k(x + 1 + 1)(x + 3 + 1) = = (x+1)(x+3) + k(x+1)(x+3) + k(x+1) + k(x + 3) + k = = (k + 1)(x + 1)(x+3) + 2k(x + 2) + k = = (k + 1)(x + 2 − 1)(x + 2 + 1) + 2k(x + 2) + k = = (k + 1)(x + 2)² − (k + 1) + 2k(x + 2) + k = = (k + 1)(x + 2)² + 2k(x + 2) − 1 Kładąc t = x + 2 dostajemy funkcję kwadratową. Wystarczy policzyć jej wyróżnik.

PW: ICSP, jesteś niezawodny, ale ... miało być bez delty. Poczekamy co Paula przyniesie z lekcji.

Mila: Dlaczego bez delty?

PW: Tak to jest kiedy opowiada się zadania własnymi słowami. Nie wiadomo o co idzie Pauli.

Paula: Zadanie dosłownie brzmi tak: Uzasadnij, że dla każdego k należącego do R istnieje x należące do R takie , że (x+1)(x+3)+k(x+2)(x+4)=0 We wstępie użyte są symbole kwantyfikatorów, bo o kwantyfikatorach była lekcja. Klasa I LO , profil rozszerzony, w gimnazjum były wzory skróconego mnożenia ale funkcji kwadratowej nie było.