wartość bezwzględna mateusz: dlaczego podczas rozwiązywania nierówności np. |x+2| < 3 podczas zastępowania układem nierówności jest "i" a w np. |x+2| > 3 jest "lub"? prosze o jak najprostsze wytłumaczenie

J: zielony ... pierwszy przypadek czerwony ... drugi

mateusz: nie do końca rozumiem

J: IaI < A ⇔ −A < a < A IaI > A ⇔ a > A lub a < −A

Aga1.: np. tak 1) Ix+2I<3 ,nierówność < przekręć lekko w prawo , uzyskasz ⋀ (i) 2) Ix+2I>3 , nierówność > przekręć lekko w prawo , uzyskasz ⋁ (lub

henrys: Chyba najlepiej obrazuje tą sytuację interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. |x+2| < 3 rozwiązaniem są takie liczby x, które są oddalone od −2 o mniej niż 3. Widzimy, że jest to część wspólna x+2<3 i x+2>−3 Podaj interpretację geometryczną |x+2|>3, zastanów się czy zbiór rozwiązań tej nierówności jest sumą czy iloczynem przedziałów?

J: dobre...

mateusz : Sumą, ponieważ nie ma części wspólnych Ale dalej nie wiem czemu w jednym przypadku używa się "i" a w drugim "lub"

J: popatrz 14:13 ... pierwsza nierówność : i , a druga: lub

J: a jest mniejsze od: A i jednocześnie większe od : − A

J: a jest mniejsze od − A lub większe od A

henrys: Część wspólna oznacza przynależność do jednego i drugiego zbioru. Suma zbiorów, przynależność do jednego lub drugiego (x jednocześnie nie może należeć do jednego i drugiego zbioru)

PW: Im dłużej tłumaczymy, tym bardziej niezrozumiałe. henrys już napisał nieprawdę w tym zapędzie (nieprawdę w sensie ogólnym, nie w odniesieniu do tego przykładu).

henrys: tak, tak w tym przypadku, przecież nie będę pisał czym jest koniunkcja czy alternatywa

PW: Tak patrząc od początku świata (od definicji wartości bezwzględnej), to należy stwierdzić, że w obu wypadkach jest to alternatywa. Spokojnie, nie strzelać. (1) |u| > 3 − co to znaczy? Ano, że (zgodnie z definicją wartości bezwzględnej) u < 0 i −u > 3 lub u ≥ 0 i u > 3 u < 0 i u < −3 lub u ≥ 0 i u > 3 u < − 3 lub u > 3. Alternatywa, oczywiste. Rozwiązanie jest sumą dwóch rozłącznych przedziałów: u∊(−∞,−3)∪(3,∞). (2) |u| < 3 − co to znaczy? Ano, że (zgodnie z definicją wartości bezwzględnej) u < 0 i −u < 3 lub u ≥ 0 i u < 3 u < 0 i u > −3 lub u ≥ 0 i u < 3. u∊(−3, 0) lub u∊[0, 3). Alternatywa, oczywiste. Rozwiązanie jest sumą dwóch rozłącznych przedziałów: (3) u∊(−3, 0)∪[0, 3). Na tym można skończyć, ale przecież ostatnie rozwiązanie można zapisać w postaci "sklejonej": u∊(−3, 3) i sformułować to w postaci równoważnej obserwacji: (4) |u| < 3 ⇔ −3 < u < 3. Nie jest to jednak jakaś "nowa definicja" czy "prawda objawiona" do nauczenia − że jak ">" to "lub", a jak "<" to "i" − to po prostu (3) daje się zapisać w prostszej postaci, co daje (4).

henrys: w tym wypadku koniunkcję możesz rozbić na alternatywę dwóch koniunkcji....

Aga1.: Dla kogoś kto jest na bakier z matematyką te wywody mogą zniechęcić całkowicie.

Mila: Zapis: 1) |a|<3 możesz interpretować, że chodzi o wszystkie liczby , których odległość od liczby 0 na osi liczbowej jest mniejsza niż trzy jednostki.⇔ −3<a<3 co możesz zapisać a>−3 i a<3 2)|x−2|<3 możesz interpretować, że chodzi o wszystkie liczby (x−2), których odległość od liczby 0 na osi liczbowej jest mniejsza niż trzy jednostki.⇔ Stąd nierówność: |x−2|<3 rozpiszesz tak: x−2>−3 i x−2<3⇔ −1<x<5 ============== 3)|a|>3⇔szukasz wszystkich liczb, których odległość od liczby 0 na osi liczbowej jest większa niż trzy jednostki.⇔ x<−3 lub x>3 Zatem nierówność: |x−2|>3 rozpiszesz tak x−2<−3 lub x−2>3

5-latek: Dzien dobry Milu Pozdrawiam Mateusz pyta się dlaczego ? To ja się pytam Mateusza dlaczego nie zajrzales do książki ?

mateusz: Dzień dobry 5−latku Niestety nie mam tego w książce, ponieważ nie ma tego w podstawie do gimnazjum dziękuje za odpowiedzi, już rozumiem

PW: Aga, ja się zabiję. Zniechęcić? Do czego? Do stosowania definicji wartości bezwzględnej? Proponujesz w zamian "przekręcanie nierówności zgodnie z ruchem wskazówek zegara"? To jest "mnemotechnika", a nie odpowiedź na pytanie "dlaczego".

Pawcio: Mila: 2)|x−2|<3 możesz interpretować, że chodzi o wszystkie liczby (x−2), """"których odległość od liczby 0 na osi liczbowej jest mniejsza niż trzy jednostki"""" nie powinno być przypadkiem "odległość od liczby 2.." ?

Mila: 1) |x−2|<3 a=x−2 |a|<3 czyli chodzi o odległość liczb a od zera. ( za a jest podstawione x−2, czyli x pomniejszone o 2) Jeżeli chodzi o x , to odległość od liczby 2 jest mniejsza niż 3 jednostki. 2) |x−3|<5 odległość wszystkich x od liczby 3 jest mniejsza od 5. Takie nierówności możesz graficznie rozwiązać, co przydaje się na maturze, bo masz zaznaczone przedziały na osi liczbowej i masz wybrać odpowiednią nierówność. Albo masz podaną nierówność i trzeba wybrać ilustrację na osi.