szeregi bimbam: szeregi Zbadaj zbieżność szeregu przemiennego

	1		1		1		1		1
1−		+		−		+		−		+
	2		2		22		3		23

1		1		1		1
	−		+...+		−
4		24		n		2n

Jest takie rozwiązanie Suma cząstkowa 2n wyrazów to S_2n Wówczas S_2n= H_n−G_n gdzie

	1		1
Hn=1+		+ ..+
	2		n

	1		1		1
Gn=		+		+ ...+
	2		22		2n

Gdy n→∞, to H_n→∞ oraz G_n→1 czyli S_2n→∞ Dlaczego ten szereg jest rozbieżny Chodzi o kryterium Leibniza.

Nuti: Na pewno Leibniza? Z tego co się orientuję, to było to tylko kryterium do stwierdzania zbieżności, a nie rozbieżności...

Nuti: Ale przecież sam, bez kryteriów, pokazałeś, że szereg jest rozbieżny, bo ciąg sum częściowych o parzystych indeksach dąży do nieskończoności. To znaczy, że szereg jest rozbieżny... Twój H_n jest rozbieżny (harmoniczny p równe 1), a G_n jest geometryczny, sumowalny, suma 1. Sumy częściowe twojego szeregu (te o indeksach parzystych) są różnicami sum częściowych H_n i G_n, z których pierwszy jest rozbieżny do nieskończoności, a drugi sumowalny. Podciąg ciągu sum częściowych twojego szeregu ma więc nieskończoną granicę, więc sam szereg nie może być zbieżny. Rozumiesz?

bimbam: to jest przykład z podręcznika przy omawianiu kryterium Leibniza, do którego mam właśnie pytanie. Nie rozumiem Twojego ostatniego zdania: "Podciąg ciągu sum częściowych twojego szeregu ma więc nieskończoną granicę, więc sam szereg nie może być zbieżny." Chodzi o to, H_n ma granicę ∞, a sumą ciągu G_n jest 1. W zbiorze jest takie zadanie. "Jeżeli ciąg sum cząstkowych jest zbieżny, czyli ma skończoną granicę s, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego." Czy w tym zadaniu dlatego, że H_n ma granicę ∞, czyli granice nieskończoną, więc ciąg sum cząstkowych nie jest zbieżny i dlatego szereg jest rozbieżny?

Nuti: 1. moje ostatnie zdanie: najpierw muszę się poprawić: pisałam „sumy częściowe", a rozumiem, że powinnam pisać „sumy cząstkowe". Teraz wyjaśnienie: „twój" szereg ma ciąg sum cząstkowych (S_n) − takiego oznaczenia użyłeś. Podciąg, o którym mówię, jest to (S_2n). Jeżeli jakiś ciąg (w tym wypadku S_n) ma podciąg o nieskończonej granicy (w tym wypadku S_2n), to ciąg ten nie może być zbieżny do granicy skończonej, a sumę szeregu definiuje się właśnie jako granicę ciągu jego sum cząstkowych, jeżeli takowa istnieje. 2. twoje ostatnie pytanie: tak, ale H_n jest w naszym przypadku tylko ciągiem pomocniczym. Tak naprawdę to chodzi nam o zbieżność lub rozbieżność S_n i −− żeby go zanalizować −− wprowadzamy dwa ciągi pomocnicze, które w sumie tworzą jego podciąg. Wszystko jasne?

bimbam: tak, teraz to jest w miarę jasne. Dzięki