szeregi liczbowe bimbam: szeregi hej czy w zdaniach z szeregami literka n należy N Chodzi mi o takie zadanie

	√n+1 − √n
Zbadaj zbieżność szeregu. ∑∞n=1
	n

W rozwiązaniu jest napisane, że √n+1 > √n, więc

	1		1
un=		<
	n(√n+1 + √n)		2√n

Ww. przekształcenie otrzymam tak: √n+1 > √n / + √n √n+1 + √n > 2√n / *n chyba ta liczba n ∊ N n(√n+1 + √n) > 2n√n

Nuti: W rozwiązaniu sugerują, że powinno się użyć kryterium porównawczego z innym, zbieżnym szeregiem. Pierwszym krokiem jest pomnożenie licznika i mianownika wyrażenia przez sumę tych pierwiastków, których różnicę masz w liczniku. Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (a−b)(a+b)=a²−b² w liczniku zostaje tam tylko 1. W mianowniku masz natomiast n razy suma tych pierwiastków (nazwana u_n w rozwiązaniu) i dalej badasz zbieżność na wyrazach tej postaci. Tam w mianowniku po znaku nierówności powinno być 2n√n, prawda?

	3
n√n to n do potęgi		, co jest większe od 1, czyli szereg jest zbieżny (p−szeregi dla p
	2

większego od 1 są zbieżne − teoria). Ograniczenie z góry przez szereg zbieżny dowodzi zbieżności wyjściowego szeregu. Bo wyrazy szeregu są dodatnie. Rozumiesz?

Nuti: tak, n należy do N

Nuti: u_n jest oczywiście całym ułamkiem, który dalej badasz, porównując z łatwiejszym do oceny zbieżności szeregu.

bimbam: Skoro n∊N, to rozumiem. Dzisiaj od godz. 9 uczę się szeregów, więc to pierwsze koty za płoty Dzięki

bimbam: ostatnie pytanie. Szereg jest zbieżny, bo to szereg harmoniczny rzędu α, w którym α > 1

	1
∑∞n=1
	nα

Nuti: Tak, ale nie wiem, czy on się wtedy nazywa harmoniczny. Wydaje mi się, że harmoniczny jest tylko dla n równego 1, dla innych się nazywa p−szeregiem lub alfa−szeregiem... zależy jak nazwiesz potęgę.

Nuti: nie dla n równego 1, tylko dla p (lub alfa) równego 1. Przejęzyczyłam się!

bimbam: dzięki