a kamil:

	1
Podaj 6−ty wyraz ciągu, którego funkcja tworząca ma postać F(x) =
	(1−x)3

Jest ktoś w stanie pomóc?

PW: Funkcją tworzącą ciągu samych jedynek jest

	1
∑xn =		.
	1−x

Po zróżniczkowaniu tego otrzymujemy funkcję tworzącą ciągu 1, 2, 3, 4, 5,... liczb naturalnych dodatnich:

	1
∑(n+1)xn =
	(1−x)2

W obu szeregach sumowanie od 0 do ∞. Pewnie dalsze różniczkowanie da odpowiedź.

kamil: a czy nie ma jakiegoś konkretnego wzoru na taką funkcję ? Nic znaleźć nie mogłem. Mógłby ktoś powiedzieć jak się wylicza wyraz z ciągu funkcji tworzącej?

PW: Matematyka nie polega na stosowaniu "gotowych wzorów". Jeżeli w ogóle coś wiesz o funkcjach tworzących, to zdajesz sobie sprawę, że liczenie pochodnych "wyraz po wyrazie" − formalnie, bez analizowania zbieżności − jest podstawową metodą. To jest akurat klasyczny przykład, taki elementarny − bez jego zrozumienia nie ruszysz dalej w tym temacie. Przeanalizuj to starannie, sprawdź czy się nie pomyliłem i dopiero wtedy oceń, czy moja sugestia jest dobra.

kamil: Jak rozwiązywać zadania tego typu?

kamil: pomoże ktoś?

Nuti: Zróżniczkuj jeszcze raz obie strony (czyli zróżniczkuj drugi wzór podany przez @PW) i dostajesz

	2
∑(n+2)(n+1)xn=
	(1−x)3

i tutaj sumowanie jest od 0 do ∞. Czyli ciąg, którego szukasz, to 2*1, 3*2, 4*3, 5*4, 6*5, 7*6,... czyli szósty wyraz to 42. Jest to jednocześnie odpowiedź na Wielkie pytanie o życie, wszechświat i całą resztę. A nie, przepraszam − jeszcze przez 2 musisz podzielić, bo „twoja" funkcja była bez mnożenia przez 2...

kamil: to te wzory szeregu trzeba znać na pamięć czy jak?

Nuti: Nie, ale przecież @PW wyjaśnił, jak wyliczać. Geometryczny musisz umieć rozpoznać, bo jego się używa przez cały czas. No i pochodne (czy raczej całki) pewnych prostych funkcji też musisz umieć rozpoznawać, żeby mieć z czego korzystać w razie potrzeby. To nie jest kwestia znania na pamięć, raczej rozpoznawania. Musisz mieć pewne minimum „narzędzi", żeby móc cokolwiek zrobić. Szereg geometryczny jest jednym z nich.

kamil: aha to po prostu trzeba zgadnąć wzór

kamil: dla takiej funkcji F(x) = {1}{(1 − 3x)(1 − x)} jednak ciężko ogdadnąć taki wzór.

Nuti: A co, to też masz wyliczyć?

Nuti: Jakby co − rozkład na ułamki proste i dla każdego z powstałych ułamków osobno, tak jak to poprzednie zadanie. W sumie pochodna jest operacją liniową...

kamil: Mógłby ktoś rozpisać rozwiązanie od początku do końca, za bardzo nie wiem co robić. Dzięki