Nie wiem jak w ogóle się tego dotknąć. MałaMi: Wyznacz wartość parametru m (m∊R), dla którego liczby 2^m , 2^2m −47, 2^m+18 są kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (a_n). Dla wyznaczonej wartości parametru m podaj wyraz ogólny tego ciągu.

Janek191: 2^2m − 47 − 2^m = 2^m + 18 − ( 2^2m − 47) m = 3

henrys: a₁=2^m a₂=2^m+r=2^2m−47 r=2^2m−2^m−47 a₃=2^2m−47+r=2^m+18 r=2^m+18+47−2^2m 2^2m−2^m−47=2^m−2^2m+65 2*2^2m−2*2^m−112=0

Patrycja: henrys prosze cie pomóż mi w zadaniu kilku przykładach prosze

Nuti: Mam jedną wartość parametru m, ale nie wiem, czy jest jedynym rozwiązaniem. Korzystałam z definicji ciągu arytmetycznego i z wzoru na a^m−b^m dla m naturalnych. Ciąg arytmetyczny wygląda następująco: a₀, a₀+r, a₀+2r, a₀+3r,... − różnica między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu jest stała (w podanym ciągu oznaczyłam ją przez r). Skoro trzy podane liczby są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego, różnica między trzecim a drugim musi być taka sama jak między drugim a pierwszym. Widać gołym okiem, że różnica między trzecim a pierwszym jest równa 18, czyli już znamy różnicę ciągu arytmetycznego!: r=9 (połowa osiemnastki). Różnica między drugim a pierwszym też musi być równa 9, czyli mamy: 2^2m−47−2^m=9 czyli 4^m−2^m=56. Teraz korzystam ze wzoru a^m−b^m=(a−b)(a^m−1+a^m−2b+a^m−3b²+...+ab^m−2+b^m−1) dla a=4 i b=2 i otrzymuję: 4^m−2^m=(4−2)(4^m−1+4^m−2*2+...+4*2^m−2+2^m−1) czyli cały ten tasiemiec w nawiasie musi być równy 56 podzielone przez 2, czyli 28. Od razu widać, że mamy równość dla m=3, bo 4²+4*2+2²=16+8+4=28. Wyrazy naszego ciągu to 8, 17 i 26, a ogólny wyraz to a_n=8+n*9. Nie muszę udowadniać, że to jedyne rozwiązanie, bo miałam po prostu znaleźć JAKIEŚ m, które spełnia warunki zadania.

Nuti: @Janek191 W pamięci rozwiązałeś?

Janek191: Na kartce . Niech sama coś też zrobi

Janek191: cd. 2*2{2m] = 2*2^m + 112 / : 2 2^2m − 2^m −56 = 0 (2^m)² − 2^m − 56 = 0 t = 2^m > 0 t² − t − 56 = 0 Δ = 1 − 4*1*(−56) = 225 √Δ = 15

	1 − 15
t =		= − 7 < 0 − odpada
	2

	1 + 15
t =		= 8
	2

Mamy 2^m = 8 = 2³ m = 3 ==== a₁ = 2³ = 8 a₂ = 2⁶ − 47 = 64 − 47 = 17 a₃ = 2³ + 18 = 26 r = 17 − 8 = 9 a_n = a₁ + (n −1)*r = 8 + ( n−1)*9 = 8 + 9 n − 9 = 9 n − 1 Odp. a_n = 9 n − 1 ==============

Nuti: @Janek191 Ładnie z równaniem kwadratowym! Jednocześnie udowadniasz, że to jedyne rozwiązanie. Super!

Nuti: U nas w szkole (sto lat temu) numerowało się od zera...

MałaMi: Nuti W rozwiązaniu m=3 ale wyraz ogólny to 9n−1

Janek191: W I wierszu powinno być : 2*2^2m =2*2^m + 112 / : 2

Janek191: To tak masz napisane ! m i n to nie to samo.

Nuti: @MałaMi Kwestia umowy. Jeżeli numerujesz od zera, to a_n=a₀+n*r i dlatego tutaj a_n=8+n*9. Ty mumerujesz od 1. Na to samo wychodzi.

MałaMi: Jej, dziękuję! Macie po buziaku XD

Patrycja: Janek mógłbyś zerknac zadanie od Patrycji proszee i dziekuje