indukcja Daansa: We wtorek poprawka, ktoś coś? Indukcyjnie wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n≥ ­ 160 istnieją liczby naturalne x i y takie, że n =11x + 17y.

zombi: n = 11x + 17y, natomiast n+1 = 11x + 17y + 1, ale 1 = 2*17 − 3*11 , czyli n+1 = 11x + 17y + (2*17 − 3*11) = 11(x−3) + 17(y+2) = 11x₁ + 17y₁

Daansa: skąd wziąłeś te 2 i −3? z eulera? 1 = 2*17 − 3*11 do tego momentu rozumiem, ale dalej juz nie

zombi: Mamy założenie indukcyjne, że liczba n przedstawia się w postaci 11x + 17y. W kroku indukcyjnym chcemy pokazać, że również liczba n+1 może być przedstawiona w takiej postaci.Więc zapisuję, że n+1 = (11x+17y) + 1. Wszystko ok, tylko chcielibyśmy przedstawić jedynkę w postaci 11p+17q, wtedy wszystko się będzie zgadzać. Łatwo można zgadnąć albo obliczyć, że 1 = 11*(−3) + 17*(2), czyli n+1 = 11x+17y+11(−3) + 17(2), teraz pogrupować = 11x + 11(−3) + 17y + 17(2) = 11(x−3) + 17(y−2). I widzimy, że nasze n+1 również przedstawia się w tej postaci.

Daansa: aaaaaa już rozumiem, dzięki! Nie wiedziałem, że te oba mam do siebie dodać i głupiałem

Daansa: Indukcyjnie wykazać, że liczba 9 · 13ⁿ − 4n² − 1 jest podzielna przez 8 dla każdego n ∈ N. A wiesz może jak to zrobić?

zombi: Zał. 9*13ⁿ − 4n² − 1, jest podzielne przez 8, czyli 9*13ⁿ − 4n² − 1 = 8p, dla pewnego p. Mamy pokazać, że 9*13ⁿ⁺¹ − 4(n+1)² − 1 dzieli się przez 8. Problematyczna jest ta enka w wykładniku 13. Więc wykorzystamy założenie w ten sposób, że wyliczymy 9*13ⁿ. 9*13ⁿ = 8p + 4n² − 1. Ale wiemy, że 9*13ⁿ⁺¹ − 4(n+1)² − 1 = 13*(9*13ⁿ) − 4(n+1)² − 1 = ... dokończ

Daansa: chwila bo próbuje przetrawić to co mi pokazałeś

Daansa: ahhh widzę co tam zrobiłeś!

Daansa: wychodzi 52 n²−8 n+104 p−22 ale co mi to daje?

Daansa: tam powinno być chyba 9*13ⁿ = 8p+4n² +1

Daansa: 52 n²−8 n+104 p+4, ale to nadal mi nic nie daje..

zombi: 13[8p+4n²+1] − 4(n+1)² − 1 = 13*8p + 13*4n² + 13 − 4n² − 8n − 4 − 1 = 13*8p + 12*4n² − 8n + 8 = 13*8p + 8*6n² − 8n + 8 = 8(...)

Daansa: ale.. lewa = 13[8p+4n2+1] − 4(n+1)2 − 1 ≠ 13*8p + 13*4n2 + 13 − 4n2 − 8n − 4 − 1

zombi: Jak to nie? 13*8p okej, 13*4n² okej, 13*1 okej. Nie widzę błędów rachunkowych.

Daansa: kurde czekaj

Daansa: no zgadza się

Daansa: okej moja kolej, przypilnujesz?

Daansa: http://i.imgur.com/VM1WpqQ.jpg 1. 2⁶ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺² 2. 2⁶ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺² = 11p 3. 2⁶ⁿ*2 + 3²ⁿ*3*3 = 11p

Daansa: ii z tym znów mam problem

Daansa: podpowiedź?

zombi: Już chwila rozpiszę sobie.

Daansa: 4. 2^6(n+1)+1 + 3^2(n+1)+2

zombi: 2⁶ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺² = 11p, dla wygody zapiszę to sobie jako 2⁶ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺¹ = 11p ⇔ 9ⁿ⁺¹ = 11p − 2⁶ⁿ⁺¹. Teraz krok 2⁶ⁿ⁺⁷ + 9ⁿ⁺² = 2⁶*2⁶ⁿ⁺¹ + 9*9ⁿ⁺¹ = 64*2⁶ⁿ⁺¹ + 9(11p − 2⁶ⁿ⁺¹) = ...

Daansa: teraz już to widzę, semestr temu miałem indukcje ii zapomniałem jak sobie "ułatwiać" życie

Daansa: http://i.imgur.com/aU9MpNd.png a jeszcze ostatnie na dzisiaj? 3..4998 4998−3=1665 − tyle liczb jest podzielnych przez 3, ale jak sprawdzic ktore nie sa podzielne jednoczesnie przez 6?

Daansa: dobra już wiem, to ta godzina.. po prostu odjąć te przez 6