laplace RJS: Rozwiąż równanie z warunkiem poczatkowym ty'−2y=3tln²t y(e)=−e² ty'−2y=3tln²t / L[...] L[ty'−2y]=L[3tln²t] tL[y']−2L[y]=3L[tln²t] ? zaciąłem się..

RJS: Pomoże ktoś ?

zombi: Oj nie wiem czy pomogę ci w równaniach różniczkowych

RJS: No tego przykładu nie mogę wgl ruszyć..Z innymi nie ma problemu.

zombi: nie wiem czy się przyda, może takie info L[y'] = sL[y] − y(0⁺)

RJS: to mam ale zobacz, że warunek jest y(e) a nie y(0)

RJS: #smutnabuźka

zombi: Spróbuj na matematyka.pl ja nie ogarniam zbytnio równań różniczkowych, więc nie pomogę niestety.

RJS: Nie mam tam konta i nie umiem Latexa żeby tam publikować.

zombi: Latexa masz tam gotowe komendy a konto może zawsze się przydać.

Joe Black: musisz to z Laplace ?

RJS: Tak, a można inaczej ?

Joe Black: Z tego co pamiętam to jest wiele metod

J:

	2
⇔ y' −		y = 3ln2t .... i masz równanie liniowe niejednorodne
	t

Joe Black: Żeby zrobić to Laplace musisz znać warunek początkowy y(0)=?

RJS: @Joe Black tak. @J mógłbyś krok po kroku pokazać ?

J: najpierw równanie liniowe jednorodne:

	2		dy		2
y' −		= 0 ⇔		=		... rozdziel zmienne i licz
	y		dx		y

RJS: Dziękuję.

J:

	2		dy		2		dy		dx
chochlik ... y' −		y = 0 ⇔		=		y ⇔		=
	x		dx		x		2y		x

RJS: Wracam do tego zadania @J ale tam jest ty'−2y a nie y−2y.. ty'−2y=3t²ln²t z warunkiem y(e)=−e² ty'−2y=3t²ln²t

	dy
t		=3t2ln2t+2y / :t
	dt

dy		3tln2t+2y
	=		/ dt
dt		t

	(3t2ln2t+2y)dt
dy=		/ : (3t2ln2t+2y)
	t

dy		dt
	=		∫
3t2ln2t+2y		t

	dy		dy		dt
∫		+∫		=∫		?
	2y		3t2ln2t		t

co dalej ?

RJS:

1		dy		1		dt
	∫		+		∫dy=∫
2		y		3t2ln2t		t

1		1
	ln|y|+		y=ln|t|+C
2		3t2ln2t

?

henrys: ty'=2y+3t²ln²t/:t

	2y
y'=		+3tln2t najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne
	t

	2y
y'=
	t

	dy		2
∫		=∫		dt
	y		t

J: dzielimy równanie wyjściowe obustronnie przez t:

	2
⇔ y' −		y = 3*ln2t
	t

	dy		2
teraz równanie jednorodne:		−		y = 0
	dt		t

J: masz: lny = 2lnt + C₁ ⇔ lny = ln(t²*C) ⇔ y = Ct² i możesz uzmienniać stałą

RJS: Ok, będę próbować.

J:

	ln2t
dostajesz: C'(t)*t2 = 3*ln2t ⇔ C'*(t) = 3		...
	t2

i całkujesz , aby obliczyć: C(t)

J: Ostatnią całkę chyba załatwisz dwukrotnie przez części ( nie liczyłem )

RJS: z całkami nie mam problemu, pierwszy raz widzę taki sposób rozwiązywania Jaka to metoda ?

J: To jedna z metod rozwiązywania równań różniczkowych, metoda uzmienniania stałej

RJS: Dziękuję, własnie opanowałem tylko równania o zmiennych rozdzielnych, tego ze zmienna nie robiłem.

J: Głownie ma zastosowanie przy równaniach liniowych pierwszego rzędu niejednorodnych: y' + p(x)y = f (x) wówczas całka równania jednorodnego ma zawsze postać: y = C*e^−P(x) , gdzie: P(x) jest funkcją pierwotną funkcji p(x) ... potem uzmienniamy stałą: y = C(x)*e^−P(x)

RJS: Ja dopiero opanowałem Laplace'a i rozdzielne zmienne, ale dziś nadrobię, zrobię jakiś 100 przykładów to w roku akademickim będę się nudzić