Liczby naturalne paweł: Witam. Mam problem z pewnym zadaniem. Wykaz ze dla każdej liczby naturalnej n liczba n⁵−n jest podzielna przez 30. Doszedłem do postaci n(n−1)(n+1)(n²+1)

zombi: n(n−1)(n+1)(n²+1) i tutaj znany w tego typu zadaniach, być może nowy dla ciebie triczek. Chcemy na siłe dostać podzielność. tzn n² + 1 = n² − 4 + 5, czyli mamy n⁵−n = n(n−1)(n+1)(n²−4+5) = n(n−1)(n+1)(n²−4) + 5n(n−1)(n+1) = (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) + 5n(n−1)(n+1). (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) − ta część jest na pewno podzielna przez 30, bo jest podzielna przez 6 i 5 (uzasadnij) 5n(n−1)(n+1) − ta część jest podzielna przez 6 i przez 5, bo to iloczyn 5. Uzasadnij, dlaczog przez 6 jest podzielna.

Mila: n²+1=n²−4+5=(n−2)*(n+2)+5 n(n−1)(n+1)(n²+1)=n*(n−1)*(n+1)*[(n−2)*(n+2)+5]= =n*(n−1)*(n+1)*(n−2)*(n+2)+5*n*(n−1)*(n+1) porządkujemy iloczyny =(n−2)*(n−1)*n*(n+1)*(n+2)+5*(n−1)*n*(n+1) Pierwszy składnik sumy jest iloczynem pięciu kolejnych liczb całkowitych a drugi iloczynem liczby 5 przez 3 kolejne liczby .. Wyciągaj wnioski.

paweł: Skąd wziąłeś tę drugą część?

paweł: jesteście studentami?

Mila: Skopiuj linijkę, której nie rozumiesz.

paweł: Rozumiem,tylko dlaczego te składniki sumy są podzielne przez 6?

Mila: Wśród 3 kolejnych liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest parzysta, zatem iloczyn dzieli się przez 2 i przez 3 ⇔dzieli się przez 6. Wypisz sobie kilka trójek, to zrozumiesz.

paweł: No podobną, kwestię omawiałem kilka zadań wcześniej. Dzięki za pomoc.

paweł: No podobną, kwestię omawiałem kilka zadań wcześniej. Dzięki za pomoc.

Mila: