całki bimbam: oblicz całkę

	x−1		x−1
∫		= ∫
	4x2−4x+1		(2x−1)(2x−1)

licząc ją poprzez rozkład na czynniki liniowe / ułamki proste wychodzi mi, że x−1=A(2x−1)+B(2x−1) A2+B2=1 −A−B=−1 czyli sprzeczność

stary piernik: Źle, nie idź ta drogą

bimbam: wiem, że źle Którędy zatem iść

bimbam: wiem, że źle Którędy zatem iść

stary piernik: To pytanie niemal egzystencjalne

daras:

	1		1
..= −		+1/4 ln|2x−1| +
	4(2x−1)		2(2x−1)

daras: chyba coś koło tego trzeba pochodzić

pigor: ... , źle rozkładasz, zrób to tak :

x−1		x−1		A		B
	=		=		+		= itd. ...
4x2−4x+1		(2x−1)2		(2x−1)		(2x−1)2

bimbam: znalazłem takie rozwiązanie

	1   1   (4x2−4x+1)` −   8   2
∫
	4x2−4x+1

czy tutaj rozbijam tą całkę na dwie

	1   (4x2−4x+1)`   8		1   −   2
∫		− ∫
	4x2−4x+1		4x2−4x+1

ale wtedy nie wyjdzie mi ten logarytm

1		1		1
	ln I4x2−4x+1I −		∫
8		2		4x2−4x+1

bimbam: pigor dlaczego tam jest drugi nawias w drugiej potędze

Eta:

	t−1		1
2x−1=t , x−1=		, dx=		dt
	2		2

	1	t−1		1		1		1		1		1
∫			dt =		∫(		−		)dt =		(ln|t|+		)+C=
	4	t2		4		t		t2		4		t

	1		1
=		(ln|2x−1|+		) +C
	4		2x−1

bimbam: mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego źle rozłożyłem na ułamki tą całkę Dzięki Eta

pigor: ..., dużo mądrzejsi ode mnie tak robią ..., a ja korzystam z ich rady i tak tu A=¹₂, B= −¹₂, wtedy masz ten "swój" logarytm

	2dx		dx
....= 14 ∫		− 12 ∫		= 14ln|2x−1| ... itd. ...:
	2x−1		(2x−1)2

pigor: ..., dlatego, bo Twój rozkład nie ma sensu ; czego się spodziewasz mając 2 "ułamkI" o takim samym mianowniku liniowym 2x−1

bimbam: ?

bimbam: myślałem, że jak jest (2x−1)² to jest to równe (2x−1)(2x−1)

pigor: ... , jeśli już, to musiałbyś szukać takiego rozkładu :

A		Bx+C
	+		, ale zapewniam, że wtedy tu
2x−1		(2x−1)2

i w analogicznych przypadkach wyjdzie B=0 , ... a najlepiej to poczytaj sobie co nieco o rozkładzie na ułamki proste

bimbam: właśnie to robię Dzięki za pomoc

bimbam: https://www.youtube.com/watch?v=M1z9S9hDPZk

daras: takie to śa te kursy Youtubowe, tak jak kiedyś kursy telewizyjne dla rolników czy nie widzisz,ze podałem ci prawidłowe rozwiązanie o 0:14 ? to samo η napisała pół godz później

daras: celowo nie wyciągałem 1/4, żebyś zauważył, że pierwsze dwa składniki to rozwiązania całek:

	xdx		dx
∫		oraz −∫
	(2x−1)2		(2x−1)2

bimbam: YouTube ma pomóc w wytłumaczeniu problemów z matmy elementarnej, choć są też filmy z MIT, więc nie wiem o co Ci chodzi z ich poziomem. Każdy wybiera poziom i zagadnienie, które go aktualnie interesuje. Wracając do całki. Rozwiązałem ją sposobem, który pokazała Eta Sposób, który ja o 0:36 zapytałem, doprowadził mnie do postaci takiej

1		1	1
	ln I(2x−1)2I +			+ C
8		4	2x−1

	1
nie wiem jak przekształcić		ln I(2x−1)2I
	8

na

1
	ln I(2x−1)
4

Pomógłby ktoś

Mila: lna²=2ln|a| ln|2x−1|²=2log|2x−1|

bimbam: rozumiem. Dzięki

bimbam: mam jeszcze pytanie W dziale Całki funkcji wymiernych autor zbioru pisze, że Jeżeli w mianowniku ułamka prostego znajduje się wyrażenie stopnia pierwszego lub jego potęga, to w liczniku piszemy stałą. Jeżeli w mianowniku jest wyrażenie nieprzywiedlne stopnia drugiego lub jego potęga, to w liczniku piszemy dwumian stopnia pierwszego. Znalazłem w necie, że wielomian nieprzywiedlny to wielomian, który w danym ciele nie daje się przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia niższego Czy mógłby wytłumaczyć o co chodzi z tym wyrażeniem nieprzywiedlnym stopnia drugiego

daras: np x² +2 nie da sie już prościej zapisać

daras: czyli metody rozkładu na ułamki proste jednak ci nie wytłumaczyli na tym MIT kursie

daras: to moze przestudiuj tutejsze przykłady: https://matematykaszkolna.pl/strona/2303.html

bimbam: daras, mam pytanie do Ciebie Pytam uprzejmie − co chcesz udowodnić swoimi coraz mniej przystającymi do Twojego wieku wpisami Domniemywam, że jesteś nauczycielem matematyki i masz te ...dzieści albo może ...dziesiąt lat Czy na prawdę myślisz, że to co piszesz jest zabawne Na matematyka.pl dostałbyś już dawno zakaz wjazdu albo co najmniej ostrzeżenie. Chcesz wykazać, że umiesz matematykę lepiej ode mnie albo od większości młodych użytkowników tego forum Oczywiście, że znasz matmę lepiej ode mnie i wielu osób tu zaglądających. Tylko jest jedno "ale" − my nie kończyliśmy matematyki, czy innego kierunku, dzięki któremu masz 3 literki przed nazwiskiem. Jak jesteś taki kozak, to hm... pokaż co potrafisz wśród osób równych wykształceniem sobie Zajmij się np tymi zagadnieniami https://pl.wikipedia.org/wiki/Problemy_milenijne Podobno niezły pieniądz można zarobić. Zastanów się daras. Ale żeby zabrać się za to co podałem w linku, trzeba najpierw zrozumieć publikacje na poziomie np Waltera Rudina, a tu być może masz pewne braki

Mariusz:

	x−1
∫		dx
	(2x−1)2

Możesz liczyć przez części

	x−1		1	x−1		1		1
∫		dx=−			+		∫		dx
	(2x−1)2		2	2x−1		2		2x−1

	x−1		1	x−1		1		2
∫		dx=−			+		∫		dx
	(2x−1)2		2	2x−1		4		2x−1

	x−1		1	x−1		1
∫		dx=−			+		ln|2x−1|+C
	(2x−1)2		2	2x−1		4

Jeśli mianownik ma pierwiastki wielokrotne to możesz wydzielić część wymierną całki metodą Ostrogradskiego Wreszcie ktoś poznał kim są darasy