∫x^2p{1+4x^2}dx ? paw: jak ruszyc taka calke? ∫x²√1+4x²dx ? od biedy mogę zrobić wspolczynnikami nieoznaczonymi ale to strasznie duzo roboty, bo wielomian 4 stopnia

Godzio:

	1		1
A takie coś: x =		sht ⇒ dx =		chtdt
	2		2

	1		1
∫		sh2t√1 + sh2t *		chtdt =
	4		2

	1		1		1
=		∫ch2tsh2tdt =		∫(2chtsht)2dt =		∫sh22tdt =
	8		32		32

	1		ch2t − 1		1		1
=		∫		dt =		(		sh2t − t) + C =
	32		2		64		2

	1		1
=		( shtcht − t) + C =		(sht * √1 + sh2t − t) + C =
	64		64

	1
=		(2x√1 + 4x2 − sh−1(2x) ) + C
	64

Jak wyliczyć sh⁻¹x?

	ex − e−x
shx =		= y oraz ex = t
	2

	1
t −		= 2y
	t

t² − 2y * t − 1 = 0 Δ = 4y² + 4 ⇒ √Δ = 2√y² + 1

	2y + 2√y2 + 1
t1 =		= y + √y2 + 1
	2

t₂ = y − √y² + 1 < 0 odpada bo t > 0 Stąd mamy e^x = y + √y² + 1 ⇒ x = ln(y + √y² + 1) Zatem ostatecznie nasza całka jest równa:

1
	(2x√1 + 4x2 − ln(2x + √4x2 + 1) ) + C
64

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem, możliwe, że jest łatwiejszy sposób, ale ten jest schematyczny, wystarczy znać parę faktów o funkcjach hiperbolicznych

paw: no to nieźle

Kacper: Godzio

Mariusz: Podstawienie Eulera daje dosyć dobre efekty √1+4x²=t−2x i nie trzeba znać funkcji hiperbolicznych