Wektory.. Dwukropkowa: Mamy problem z zadaniem.. Czy ktoś może nam podpowiedzieć co dalej..? Wyznacz równanie prostej l₁ będącej rzutem prostej l na płaszczyznę π gdzie dane jest: l: 2x−z+1=0 x+3y−1=0 π: x−2y+z−2=0 Pomyśleliśmy, że możemy przyrównać te dwa równania prostej l i wychodzi : 2x−z+1=x+3y−1 x−3y−z+2=0 więc współ. wektora v=[1,−3,−1] ale czy to co tu zrobiłam ma w ogóle sens.. i prowadzi do rozwiązania..? Bardzo proszę o pomoc.

Dwukropkowa: I nikt nie podejmie się..? : (

Dwukropkowa: I nikt nie podejmie się..? : (

Dwukropkowa: ?

Rudy: Podaj jeszcze raz co jest prostą a co płaszczyzną

Dwukropkowa: te dwa równania l to prosta.. a PI to płaszczyzna

Dwukropkowa: I jak..? Przepraszam, że się tak narzucam ale muszę to rozwiązać.. ; / albo nauczyć się rozwiązania raczej.. ; /

Rudy: niestety teraz nie mogę pomóc

Dwukropkowa: I jak..? Przepraszam, że się tak narzucam ale muszę to rozwiązać.. ; / albo nauczyć się rozwiązania raczej.. ; /

Andrzej: Zaraz pomogę, momencik

Andrzej: Najpierw napiszemy równanie pęku płaszczyzn przechodzących przez daną prostą l: 2x − z + 1 + k(x +3y − 1) = 0, a po uporządkowaniu: (2 + k)x + 3y − z + 1 − k = 0 (*) Szukamy płaszczyzny rzutującej prostą l na π; musi być ona prostopadła do π Warunek prostopadłości: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 1(2 + k) + (−2)*3 + 1*(−1) = 0 skąd wyliczamy k = 5 i wstawiamy do (*) otrzymując 7x + 3y − z − 4 = 0 A zatem szukana prosta ma równanie: 7x + 3y − z − 4 = 0 x − 2y + z − 2 = 0

Dwukropkowa: hmm..? A dlaczego mamy dwa równania..?

Andrzej: To jest równanie krawędziowe prostej, jest przedstawiona jako krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn. Przecież prosta l też jest dana w taki sposób w treści zadania.

Dwukropkowa: czarna magia dla Nas.. ale spróbujemy: ) a mógłbyś rozwiązać jeszcze jedno zadanie..? Tu jest treść.. Wektor v jest wektorem kierunkowej prostej l , a wektor v₁ jest wektorem kierunkowym prostej l₁ przy czym l₁ jest rzutem prostej l na płaszczyznę π... dane l i płaszczyzny π są takie same.. tyle, że tak jakby ciąg dalszy zadania bo rozumiem, że nasze l₁ to to co wyżej napisałeś..

Dwukropkowa: czarna magia dla Nas.. ale spróbujemy: ) a mógłbyś rozwiązać jeszcze jedno zadanie..? Tu jest treść.. Wektor v jest wektorem kierunkowej prostej l , a wektor v₁ jest wektorem kierunkowym prostej l₁ przy czym l₁ jest rzutem prostej l na płaszczyznę π... dane l i płaszczyzny π są takie same.. tyle, że tak jakby ciąg dalszy zadania bo rozumiem, że nasze l₁ to to co wyżej napisałeś..

Andrzej: Ale jakie polecenie ?

Dwukropkowa: I chyba zgubiłeś k na samym początku przy 3y .. bo powinno być po wymnożeniu (2+k)x +3yk − z +1−k=0 a tam trzeba policzyć cosinus między v i v₁

Dwukropkowa: więc k = − 1/3 ale dalej tak samo.. tylko błąd rachunkowy .. : )

Andrzej: tak, racja, zgubiłem k. szybko pisałem, sorki, umiesz poprawić ?

Dwukropkowa: a raczej k =1/3.. teraz ja zrobiłam błąd

Dwukropkowa: czyli prosta l₁ = 7/3x+y−z+2/3=0 : ) a co z cosinusem..? mamy jedno rozwiązanie.. ale raczej błędne bo nawet ta prosta nam inaczej wyszła.

Andrzej: no to teraz trzeba napisać wektory kierunkowe obu prostych i podstawić do wzoru na cosinus, taki wzór z dwoma pierwiastkami w mianowniku; umiesz ?

Andrzej: no to teraz trzeba napisać wektory kierunkowe obu prostych i podstawić do wzoru na cosinus, taki wzór z dwoma pierwiastkami w mianowniku; umiesz ?

Dwukropkowa: czyli prostej tej l i l₁ którą wyliczyliśmy..? więc: z tych dwóch równań prostej l wyznaczam x i porównuje.. i wektor v = [1,−1/3,2] i to jest ten nasz wektor kierunkowy.. (chyba) a jak wyznaczyć drugi wektor kier..? czy to będą współczynniki po porstu..? czyli v₁=[7/3,1,−1] ? Przepraszam, że męczę tak ..

Andrzej: nie... zaraz napiszę na przykładzie prostej l jak się robi wektor kierunkowy

Andrzej: 2x + 0y − z + 1 = 0 x + 3y + 0z − 1 = 0 a_x = 0 * 0 − 1 * 3 = −3 a_y = 2 * 0 − 1 * (−1) = 1 a_z = 2 * 3 − 1 * 0 = 6 to są wyznaczniki powstałe przez wykreślenie kolejno kolumn: x, y, z wektor tej prostej to [−3, 1, 6]

Andrzej: znowu sie trachnąłem, powinno być w a_x = 0 * 0 − (−1) * 3 = 3

Dwukropkowa: aa.. tak, rozumiemy póki co.. tylko, że powinno być 3.. : ) a nie można tego zrobić z postaci podwójnej proporcji..? Jakbys mógł to prosze napisz jakby to wyglądało.. I jeszcze jedno pytanie.. dla pierwszego wektora kierunkowego użyłeś dwóch równań prostej l .. a żeby znaleźć wekt kier dla l₁ to mamy użyć równania prostej l₁ i równania płaszczyzny..?

Andrzej: no tak, pamiętaj że prosta jest dana jako dwa równania płaszczyzn. w tej "podwójnej proporcji" w mianownikach są od razu dane a_x, a_y, a_z

Dwukropkowa: czyli czemu nie może być tak jak napisałam..? bo jeśli zrobimy z podwójnej proporcji to będzie tak: (x−0)/1=(z−1)/2=(y−1/3)/(−1/3) i wtedy v=[1,−1/3,2]

Andrzej: nie wiem skąd to wytrzasnęłaś... to musi być z iloczynu wektorowego, czyli z tych wyznaczników

Dwukropkowa: eh, nie mam ju z siły.. no nic, dziękuję bardzo za pomoc i przepraszam za kłopot.. pobudke mam o 5.15 więc lecę do łózka.. dobranoc i jeszcze raz mocno dziękuję. : )

Dwukropkowa: aha.. czyli chociaż wiem, że ten sposób jest zły. Dzięki wielkie. : )

nina: αβπ♥