Odtwórz funkcję holomorficzną Mike: Czesc, pytanie z analizy zespolonej Musze znaleźć urojoną część funkcji holomorficznej. Dane są: u(x,y)=x(3−2y) oraz f(i)=2i. Wykorzystałem równania Cauchy−Riemanna: (pochodne cząstkowe ale nie widze tu odpowiedniego znaczku wiec użyje 'd')

du		dv		du		dv
	=3−2y=		oraz		=−2x=−
dx		dy		dy		dx

teraz całkowanie ∫3−2ydy=3y−y² + g(x)=v ∫2xdx=x²+h(y) =v Dalej nie mam pojęcia jak to ugryźć. Błagam o pomoc.

henrys: ∫3−2ydy=3y−y²+g(x)=v do tego momentu ok i teraz jakoś tak:

dv
	=g'(x)=2x
dx

g(x)=x²+c v(x,y)=3y−y²+x²+c f(x+iy)=x(3−2y)+i(3y−y²+x²+c) f(i)=2i=i(3−1+c) c=0 v(x,y)=3y−y²+x²

Mike: Łał dzięki, pasuje. Jeszcze jakbyś mógł/mogła sprawdzić to: Odwrotne zadanie, mam v(x,y)=3y(x−1)²−y³ i f(0)=1

	dv		du		dv		du
−		=−6y(x−1)=		oraz		=3x2−6x−3y2+3=
	dx		dy		dy		dx

całkuję to pierwsze po dy zeby dostac u ∫−6y(x−1) dy = −3 (−1+x) y² + g(y) =u [tu wątpliwość czy to jest g(x) czy g(y) czy tez bez znaczenia] pochodna po dx do porównania

du
	=−3y2+ g'(y)
dx

teraz porównuję

du		du
	=−3y2+ g'(y) = 3x2−6x−3y2+3=
dx		dx

g'(y) = 3x²−6x+3 [tu nie wiem po czym całkę dać] ∫3x²−6x+3 dy = (3x²−6x+3)y + c =g(y) wstawiam do u zeby dostac u(x,y) u(x,y)=−3 (−1+x) y2 + (3x²−6x+3)y + c f(0)=1 => to rozumiem że x+yi=0 czyli x=0=y więc zostanie samo c=1 odp: u(x,y)=−3 (−1+x) y2 + (3x²−6x+3)y + 1 długa odpowiedź i boje się że coś mogłem zepsuć.

henrys: ∫−6y(x−1)dy=−3(x−1)y²+g(x)=∫du=u dlaczego g(y)? przecież jeśli u różniczkujesz względem y i później całkujesz, to zostaje ci stała zależna od x. Popraw

Mike: Nie wiem czemu. Nie wiem jak to działa bo nigdy nie miałem tego albo nie uważałem. Czyli różniczkuję względem y a całkuję po czym? Musze to sobie zapamiętać.

du
	=−3y2+g'(x)
dx

g'(x)=3x²−6x+3 całkuje po dx g(x)=x³−3x²+3x+c wstawiam do u u(x,y)=−3xy²−3y²+x³−3x²+3x+c i dalej tez reszta c=1 teraz dobrze?

henrys: Nie wiem, co chcesz zapamiętywać... chyba równania Cauchy'ego−Riemanna i pomyś chwilę. Sprawdź czy wszystko gra, rachunki, odpowiedź i tyle.

henrys: *pomyśl

Mike: Dobra. znalazłem błąd. taki najgorszy bo zgubiłem minusa. Pokażę tu od nowa żeby było dobrze widać dla innych: v(x,y)=3yx²−6xy+3y−y³

	dv		du
−		=−6xy+6y=
	dx		dy

dv		du
	=3x2−6x+3−3y2=
dy		dx

∫−6xy+6y dy=−3xy²+3y²+g(x)=u [tu sie pomyliłem przy +6x] z tego u pochodna i porównanie

du
	=−3y2+g'(x) = 3x2−6x+3−3y2
dx

g'(x)=3x²−6x+3 g(x)=∫3x²−6x+3 dx = x³−3x²+3x+c f(0)=1 więc x=1, y=0 , f(x+vi)=−3*1*0²+3*0²+1³−3*1²+3*1+c=1 f(x+vi)=1−3+3+c=1 ==> c=0 u(x,y)=−3xy²+3y²+x³−3x²+3x+0 f(x+iy)=−3xy²+3y²+x³−3x²+3x+i(3yx²−6xy+3y−y³) Spr:

du
	=−3y2+3x2−6x+3 takie samo jak to na początku
dx

du
	=−6xy+6y [minus!]
dy

Teraz proszę wyjaśnij mi dokładniej jak jest z tym g(x) Ono powstaje jak robię całkę po dy z różniczki po dx. Czy jak zrobię całkę po dx a różniczkę po dy to to będzie g(y) I jak jest przy szukaniu c: Mam podane f(0)=1 to czy to znaczy x+yi=0 ==> x=y=0 CZY 'x' rozumiemy jako u(x,y) a 'y' jako v(x,y) i wtedy by wyszło że całe u musi ==1 a v musi ==0, co z kolei robi układ 2 równań z 3 niewiadomymi, z którego nawet udało mi się jakos wyciągnąć c ale było to mega długie. Więc stawiam że ta pierwsza opcja jest poprawna, ale wolę się upewnić.

henrys: Masz funkcję holomorficzną f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) Z równań Cachy−Riemanna wynika, że pochodna funkcji u po zmiennej x jest równa pochodnej v po y

du		dv
	=		i analogicznie drugie równanie (z minusem).
dx		dy

Różniczka ,,nie widzi" stałych, więc jeśli różniczkowałeś po x, to y traktowałeś jak stałą weźmy u=2x+y

du
	=2 i teraz jak odwrócimy tą operację czyli ∫2dx=2x+a to nie dostaniemy funkcji
dx

wyjściowej, brakuje składnika zawierającego y. Żeby otrzymać właściwą funkcję uwzględniamy to, że a mogła zależeć od y, który był traktowany jako stała, czyli ∫2dx=2x+a(y). Co do wyznaczania stałej, to pierwszy wariant jest ok, x,y to zmienne od których zależy funkcja f i funkcje u i v.

Mike: Wielkie dzięki teraz załapałem!