Jak zapisać liczbę pierwszą w działaniu? w dowodach Sara: Jak zapisać liczbę pierwszą w działaniu? Czy to się opiera na jakiejś zasadzie? Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i liczba p²−4 nie jest podzielna przez trzy to p=3. Chciałam zrobić to zadanie ale nie wiedziałam jak to pociągnąć. Na początku napisałam założenia a w dowodzie p²−4=(p−2)(p+2) i tu zostałam. Domyślam się że p trzeba zamienić coś na typu "reszta z dzielenia liczby p przez m" ale nie wiem jak. Wytłumaczy mi ktoś?

PW: Z założenie wynika, że nie dzieli się przez 3 ani liczba p−2, ani liczba p+2. Przypuśćmy, że p≠3. Rysując na osi liczby p−2, p−1, p, p+1, p+2 i pamiętając, że wśród każdych trzech kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 3 wyciągamy wniosek: − skoro (p−2) nie jest podzielna przez 3 i p nie jest podzielna przez 3, to podzielna przez 3 jest liczba (p−1), − podobnie podzielna przez 3 jest (p+1). Wobec tego p − 1 = 3m, m∊N i jednocześnie p+1 = 3k, k∊N. Po odjęciu stronami tych równości mamy 2 = 3(k−m), co jest niemożliwe. Wniosek: założenie, że p nie jest podzielna przez 3 było fałszywe, zatem p=3 (jedyna możliwość, żeby liczba pierwsza p była podzielna przez 3).

henrys: a tak? Reszta z dzielenia przez 3 kwadratu dowolnej liczby naturalnej niepodzielnej przez 3 jest równa 1. Liczba p²−4 nie jest podzielna przez 3. Zakładamy, że p nie jest podzielne przez 3. p²=3k+1 p²−4=3k+1−4 p²−4=3k−3=3(k−1) ale p²−4 nie jest podzielne przez 3, stąd p jest podzielne przez 3. Ponieważ p jest liczbą pierwszą, to p=3.

:): Sprytne

Sara: a nie powinny być 2 przypadki? p=3k+1 i p=3k+2 ?

henrys: Cześć Sara sa dwa przypadki, właśnie takie jak napisałaś, tylko wtedy p²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 lub p²=(3k+2)²=9k²+12k+4=9k²+12k+3+1=3(3k²+4k+1)+1 W obydwu tych przypadkach reszta z dzielenia p² przez 3 jest równa 1.