indukcja technicallymissing: Korzystając z zasady indukcji rozwiąż poniższe nierówności: 4ⁿ > n³ 4ⁿ > n³ dla n >= 1 Dalej(?) 4⁽ⁿ⁺¹⁾ > (n+1)³ Jak to udowodnić?

Janek191: Trzeba udowodnić, a nie rozwiązać

technicallymissing: w poleceniu mam rozwiąż ale już wcześniej był błąd więc możesz mieć rację (da się tak w ogóle rozwiązać nierówność)? A wiesz jak to udowodnić?

top: Chcesz pokazać prawdziwość dla dowolnego n 1. n=1 4¹=4>1³=1 prawda 2. Zakładam, że 4ⁿ>n³ 3. Pytam czy 4ⁿ⁺¹>(n+1)³ 4ⁿ⁺¹=4*4ⁿ Z założenia 4ⁿ>n³ czyli 4*4ⁿ>4*n³ Jeżeli więc pokażemy, że 4*n³>(n+1)³ to będzie oznaczało, że 4ⁿ⁺¹>(n+1)³ (n+1)³=n³+3n²+3n+1 Wystarczy więc pokazać, że 3n³>3n²+3n+1 (wystarczy, że od n=2 tak będzie) a to już proste

henrys: to ma być dowód indukcyjny, ale chciałem się dowiedzieć co sądzicie o czymś takim? ³√4>⁴√4>⁵√5>..>ⁿ√n /³ⁿ dla n>4 4ⁿ>n³

henrys: ten warunek n>4 niepotrzebny

henrys: n>4 potrzebny, .. dobrze to?

:): formalnie trzeba by pokazać, ze funkcja x^1_x jest malejąca ... ale sprytne!

technicallymissing: @Top a mógłbyś pokazać bo mam trochę braki z pokazywania

henrys: no tak, tutaj założyłem, że to jest znany fakt

:): Z pochodnych jest dość szybko widać, że od pewnego momentu tak rzeczywiście jest. Jednak bez tego narzędzia pokazanie tego faktu może być trudne.

ZKS: Funkcja f(x) = x^1/_x rośnie dla 0 < x ≤ e i później maleje, ale jeżeli zaczynamy szacować od n = 4 to taka nierówność zachodzi.

:): technicallymissing Na jakim etapie jesteś? (szkoła,studia) Pytam bo dowód tej nierówności jest dość prosty różniczkowo a elementarnie też się da..ale gorzej?

ZKS: Nie wiem czemu top utrudnił trochę życie. 4n³ > (n + 1)^{3 3}√4n > n + 1 (³√4 − 1)n > 1

	1
n ≥ 2 >
	3√4 − 1

henrys: Też tak do tego podchodziłem (stąd pomysł na tamto rozwiązanie)

:): Korzystając z zasady indukcji rozwiąż....

:): (udowodnij)

henrys: kurde

henrys: chodziło mi oczywiście o rozwiązanie zadania, które polegało na przeprowadzeniu dowodu

:): tzn?

henrys: dobranoc wszystkim

:): Trzymaj sie!

technicallymissing: @ZKS Dzięki, na pewno chodziło o takie rozwiązanie

technicallymissing:

	1
Tylko co my udowodniliśmy bo przecież 2 nie jestes większe od
	3√4−1

henrys: jest większa

technicallymissing: Och rzeczywiściee Sorry ja to jestem na kierunku bardziej biologicznym niż matematycznym. Mam duże problemy z rachowaniem.