Rozwiąż nierówność Hejh: log_x ¹₂ + log₂ ¹_x ≤ −2

J: 1) założenia

Hejh: x≠0 ∧ x≠1 ∧ x>0 ?

5-latek:

1
	>0
x

Hejh: dochodze do postaci ale nie wiem czy w dobrym kierunku ide ⁻¹_{log2 x} + log₂ ¹_x ≤ −2

J: ciepło ... log₂(1/x) = −log₂x .... i podstawienie : log₂x = t

Hejh: −t²+2t−1≤0 t₀= 1 log₂ x = 1 <=> x=2 ?

Hejh: powrót do założeń i potwierdzenie wyniku ?

henrys: a weź w miejsce x wstaw 4 i zobacz czy spełnia nierówność

henrys: znajdziesz błąd?

Eta: Załozenia : x>0 i x≠1 otrzymujemy:

1
	+log2x≥2
log2x

dla x ∊(1,∞) log₂x >0 to : (log₂x)²−2log₂x+1≥0 ⇔(log₂x−1)²≥0 zachodzi dla każdego x>1 równość zachodzi dla x=2 dla x∊(0,1) log₂x<0 zatem nierówność (log₂x−1)²≤0 −− jest sprzeczna Odp: rozwiązaniem tej nierówności jest x∊(1,∞)

Hejh: więc dla każdego dowolnego t będzie zachodziła nierówność

Hejh: Kurde

Eta:

Hejh: zamiast +log₂x powinno być −log₂x wiec jest źle

henrys: tak, tylko t=log₂x więc teraz powrót do założeń i rozpatrzeć przypadki

Eta: −log_x2−log₂x≤−2 /*(−1) log_x2+log₂x≥2

1
	+log2x≥2
log2x

dla x>1 mnożymy przez /*log₂x>0 1+(log₂x)²≥2log₂x ⇒ (log₂x−1)²≥0 Czy teraz jasne?

Hejh: aaa, dobra to Ety zostało pomnożone przez −1 dlatego zmieniły się znaki

Hejh: w tym samym momencie to zauważyłem ...

Eta:

Hejh: ciągle nie moge dojść co się stało z jedynką, czy zamieniamy ją na log₂ 2 i po prawej stronie z w sprzed logarytmu

Hejh: z 2 sprzed logarytmu*

Eta: Czy pytanie jest skierowane do mnie? (bo nie wiem

Hejh: (log_x−1)²≥0 o tą postać chodzi

Hejh: 1+(log₂x)²≥2log₂x co się stało z tą dwójką i na jakiej zasadzie przeszło w tamtą postać, byłbym wdzięczny za pomoc

Eta: 1+(log₂x)² −2log₂x≥0 (log₂x)²−2log₂x+1 ≥0 a²−2ab+b²=(a−b)² a=log₂x, b= 1 to mamy (log₂x−1)²≥0 jasne?

Hejh: o jeny, wszędzie trzeba ich szukać ...

Eta:

pigor: ..., z warunków zadania, definicji i własności logarytmów log_x ¹₂ +log₂ ¹_x ≤ −2 i x >0 i x≠1 ⇒ ⇒ log_x1−log_x2 + log₂1−log₂x ≤ −2 ⇔ −log_x2 −log₂x ≤ −2 ⇔

	1		log2x
⇔ logx2 + log2x ≥ 2 ⇔		+		≥ 2 ⇔ log2x >0 ⇔
	log2x		1

⇔ x > 2⁰ ⇔ x >1 ⇔ x∊(1;+∞) . ...

Eta:

Eta: To rozwiązanie też dla...........