całki cd azeta: mam całkę

	2x+1
∫		dx rozwiązuję ją w ten sposób,
	(x2+1)2

	x2+1−x2
∫{2x}{(x2+1)2}dx+∫		dx
	(x2+1)2

pierwszą przez podstawienie i jest tak: x²+1=t 2xdx=dt

	dt		1		x2
∫		+∫		dx−∫		dx=
	t2		x2+1		(x2+1)2

−1
	+arctgx−∫{x2}{(x2+1)2dx
x2+1

z tą ostatnią całką mam największy problem.. przez części ale wychodzi mi coś nieteges, mam wrażenie że w ogóle jakoś źle rozwiązuję tą całkę.. mógłby może ktoś pomóc ?

ICSP: Rozbij na dwie całki. Pierwsza pójdzie poprzed podstawienie t = x² + 1. Na drugą jest odpowiednie określenie rekurencyjne.

ZKS:

	2x + 1		2x		dx
∫		dx = ∫		dx + ∫
	(x2 + 1)2		(x2 + 1)2		(x2 + 1)2

	dx
∫		= | x = tg(u) ⇒ dx = [tg2(u) + 1]du | =
	(x2 + 1)2

	tg2(u) + 1		du
∫		du = ∫		= ∫ cos2(u)du =
	[tg2(u) + 1]2		tg2(u) + 1

	cos(2u) + 1
∫		du
	2

Dalej już samemu.

azeta: dzięki wam wielkie, ostateczny wynik mi w końcu wyszedł dobry! ciekawe to podstawienie x=tg(u), muszę to przemyśleć i później rozwiązać

azeta:

	1
...=		(u+sin(u)*cos(u))
	2

a było tgu=x czyli u=arctgx ale teraz... wyrażenie sin(arctgx)*cos(arctgx)?

ZKS:

	x
sin[arctg(x)] =
	√x2 + 1

	1
cos[arctg(x)] =
	√x2 + 1

ZKS: Piszę już bez żadnych założeń. Niech y = arctg(x) ⇒ tg(y) = x, wtedy sin²(y) + cos²(y) = 1

sin2(y)		1
	+ 1 =
cos2(y)		cos2(y)

	1
tg2(y) + 1 =
	1 − sin2(y)

	1
1 − sin2(y) =
	tg2(y) + 1

	1
sin2(y) = 1 −
	tg2(y) + 1

	tg2(y) + 1 − 1
sin(y) = [		]1/2
	tg2(y) + 1

	tg2(y)
sin(y) = [		]1/2
	tg2(y) + 1

	x2
sin[ arctg(x) ] = [		]1/2
	x2 + 1

	x
sin[arctg(x)] =
	√x2 + 1

Rozpisać już chyba bardziej się nie da.

azeta: jesteś niesamowity ZKS

azeta:

	10x3+4x2+40x+6
∫		dx
	x4+6x3+11x2+6x

rozkładam:

a		b		c		d		10x3+4x2+40x+6
	+		+		+		=
x		x+1		x+2		x+3		x4+6x3+11x2+6x

co mi daje: a(x+1)(x+2)(x+3)+bx(x+2)(x+3)+cx(x+1)(x+3)+dx(x+1)(x+2)=10x³+4x²+40x+6 i rozwiązuję to chyba 5 raz... ale odpowiedź mi się dalej różni może zły rozkład?

Mila: x⁴+6x³+11x²+6x=0 x*(x+1)*(x+2)*(x+3)=0

10x3+4x2+40x+6		A		B		C		D
	=		+		+		+		⇔
x4+6x3+11x2+6x		x		x+1		x+2		x+3

10x³+4x²+40x+6=A*(x+1)*(x+2)*(x+3)+ +B*x*(x+2)*(x+3)+C*x*(x+1)*(x+3)+D*x*(x+1)*(x+2) x=0 6=A*1*2*3⇔ A=1 x=−1 −10+4−40+6=A*0+B*(−1)*1*2+C*0+D*0⇔−40=−2B⇔ B=20 x=−2 −80+16−80+6=A*0+B*0+C*(−2)*(−1)*1+D*0⇔−138=2C⇔ C=−69 x=−3 D=58

	10x3+4x2+40x+6
∫		dx=
	x4+6x3+11x2+6x

	1		20		69		58
=∫		dx+∫		dx−∫		dx +∫		dx
	x		x+1		x+2		x+3

azeta: no właśnie! toteż mi takie wychodzą... a w odpowiedzi mam ln|x|+2ln|x+1|+3ln|x+2|+4ln|x+3|... nie myślałem że tu tyle błędów w tej książcze dziękuję!

Mila: